Схема решения краевой задачи теплопроводности

09.07.2015

Применение явных разностных схем для решения исследуемых задач теплопереноса практически невозможно из-за сильного ограничения на шаг по времени. Это вызвано существенной нелинейностью краевых задач (2.42—2.47) в диапазоне изменения температуры реагирующей смеси, наличия фазовых переходов и возможности достижения больших значений коэффициентов теплопроводности. Для численного решения нелинейных краевых задач (2.42—2.47) удобны неявные схемы, которые устойчивы и монотонны при любых шагах. Практика численных расчетов показала, что при решении сложных задач современной математической физики, описываемых большим числом уравнений, целесообразно использовать так называемые нелинейные схемы, в которые входит зависимость параметров от значений температуры на новом слое.
Уравнения теплового баланса заменим сеточными на четырехточечном шаблоне (nm, (m - 1)h), (nm, mh), (nm, (m + 1)h), ((n - 1)т, mh), представленном на рисунке 9.
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Для аппроксимации производных применим неявную центрально-разностную схему метода конечных разностей
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Ошибка аппроксимации такой схемы — О(т)+ О(h2). Рассмотрим применение выбранной схемы на двухтемпературных уравнениях теплового баланса. Уравнение теплового баланса для случая отсутствия жидкой фазы легко получить на их основе.
После замены системы уравнений теплового баланса конечно-разностными соотношениями
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Значения λm+1/2 соответствуют середине интервалов разбиения (крестики на рисунке 9) и определяются как
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Для решения полученной системы используется метод последовательных приближений, в котором значения теплофизических параметров берутся с предыдущей итерации:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Для решения системы конечно-разностных уравнений применяем метод прогонки. Для этого перепишем систему (3.2) в виде
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Граничные условия в этом случае могут быть представлены в виде
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Схема решения краевой задачи теплопроводности

Система уравнений (3.4) представляет уравнения (3.3) со следующими коэффициентами:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Схема решения краевой задачи теплопроводности

Будем искать решение конечноразностных уравнений в виде
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Протоночные коэффициенты E и F определяются по рекуррентным формулам
Схема решения краевой задачи теплопроводности

полученным путем приведения уравнения (3.3) к форме (3.5) после замены значения Тm-1 по формуле
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Из конечно-разностной схемы для условия на правой границе после подстановки значений можно вывести соотношение для вычисления неизвестного TM:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Затем в процессе обратного хода метода прогонки, полагая последовательно m = M - 1, M - 2,...0, по формуле (3.5) вычисляются значения температур Т.
Источники тепла fm в уравнении (3.2) определяются в виде
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Для учета тепловых потерь предварительно находятся доли работы, необходимые для реализации фазовых переходов в микрослое:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Критерием начала фазового перехода служит условие достижения температуры микрослоя заданного критического значения: Тm=Tp. Считается, что стоки энергии действуют до тех пор, пока доля работы, требуемая для совершения фазового перехода по всему микрообъему, не исчерпается энергией источников:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

При реализации фазовых переходов учитывается, что процессы фазовых переходов первого рода характеризуются некоторым инкубационным периодом тр. По аналогии с функцией поврежденности материала вводится функция ωр, отражающая степень перехода материала из твердого состояния в жидкое:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Здесь tpo — время начала фазового перехода. В этом случае тепловые потери на плавление вычисляются с учетом функции ωр:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Эффективные теплофизические характеристики (αv и λ) в локальных объемах реакционной ячейки в каждый момент времени определяются с применением модели зернистого слоя. Соответствующие выражения приведены в разделе 2 (см. формулы (2.50, 2.51)).
Все физические параметры уравнения, отвечающего твердофазному каркасу, состоящему из реагентов и продуктов реакции, содержащихся в твердой фазе, считаются эффективными и находятся на микрослое по правилу смеси. Пористость в двухтемпературных уравнениях теплового баланса зависит от количества жидкой фазы и текущей пористости компакта на микрослое.
Для решения задачи о тепло- и массопереносе при движении жидкой фазы легкоплавкой компоненты к уравнению (2.45) добавляются уравнения движения потока жидкости (2.52), отвечающие законам фильтрации в пористой среде. При определении расхода жидкости используется решение уравнения Дарси с коэффициентом проницаемости К, полученного для модельного пористого тела, состоящего из однородных твердых сферических частиц диаметром d:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Динамическая вязкость M расплава легкоплавкого компонента зависит от температуры и определяется по экспоненциальному закону:
Схема решения краевой задачи теплопроводности

Считается, что движение жидкости возможно при наличии свободной пористости (П > Пmin).
Градиент давления заменяется приближенным конечноразностным соотношением
Схема решения краевой задачи теплопроводности

При определении скорости фильтрации вводится ограничение на шаг по времени. При этом учитывается изменение концентраций компонентов порошковой смеси и пористости, вызванных процессом конвективного массопереноса.