Определение собственных частот прямоугольной пластины

09.07.2015

В работе содержатся результаты экспериментов по ударному инициированию образцов, состоящих из чередующихся слоев алюминиевой фольги и тефлоновой пленки. Многослойные образцы изготавливались из двухслойной ленты из фольги алюминия и пленки фторопласта путем накручивания ленты на тонкую стальную пластину. После снятия с пластинки образец представлял собой плоскую «книжечку» прямоугольной формы.
Как уже отмечалось в разделе 2.11, собственные частоты колебаний определяют характерную структуру поврежденных зон слоистых компонентов. В случае образцов, рассмотренных в статье, каждый слой можно изобразить в виде тонкой пластины.
Такой постановке соответствует задача об определении собственных частот прямоугольной пластины, шарнирно опертой по двум противоположным торцам (у = 0, у = b), две другие стороны (х = 0, х = а) свободны.
В этом случае выражение для амплитудных прогибов, удовлетворяющее граничным условиям шарнирного опирания, можно представить в виде
Определение собственных частот прямоугольной пластины

Подставляя это выражение в уравнение (2.55), получим, что функция f(х) должна удовлетворять одному из двух уравнений:
Определение собственных частот прямоугольной пластины

Решениями этих уравнений являются выражения ch α1x, sh α1x, cos α2x, sin α2х . Следовательно, общее выражение для ω(х,у) принимает вид
Определение собственных частот прямоугольной пластины

Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при х = 0, х = а. В случае свободных краев имеем
Определение собственных частот прямоугольной пластины

Подставим соответствующие частные производные функции (3.6) в граничные условия (3.7):
Определение собственных частот прямоугольной пластины

Путем преобразований в конечном итоге получим следующее выражение для определения величины α:
Определение собственных частот прямоугольной пластины

Таким образом, частоты собственных колебаний р прямоугольной пластины постоянной толщины, шарнирно закрепленной по торцам, определяются соотношением
Определение собственных частот прямоугольной пластины

где коэффициенты α определяются из решения уравнения (3.8).