Анализ напряжений пластиков

06.06.2015

Частицы эластомера действуют как концентраторы напряжений, поскольку имеют значительно более низкие модули упругости при сдвиге, чем окружающий материал матрицы. Понимание неоднородности поля напряжений является основным моментом в обсуждении возрастания ударной вязкости при введении эластомера, что как известно, происходит вследствие образования крейз и осуществления других механизмов текучести, инициированных концентрацией напряжений в матрице. Первым шагом при количественном исследовании ударной вязкости является приложение теории упругости к расчету напряжений в композиционном материале.
При попытке теоретического анализа напряжений в ударопрочных пластиках возникают две основные проблемы: во-первых, как уже отмечалось в этой главе, частицы эластомера во многих случаях имеют сложную структуру и, следовательно, их модули известны очень приближенно; во-вторых, материалы, представляющие практический интерес, имеют высокую степень наполнения частицами эластомера различного размера, распределенными статистически, так что происходит значительное перекрывание полей напряжений между соседними частицами. В некоторых случаях возникает дополнительное затруднение, обусловленное тем, что частицы эластомера имеют сфероидальную форму гораздо чаще, чем точно сферическую. Вследствие этого приходится использовать приближенные методы.
Изолированная сферическая частица

Простейшей моделью ударопрочных полимеров является модель изолированной сферической частицы, помещенной в изотропное твердое тело, находящееся в состоянии однородного одноосного напряжения σ для всех точек, удаленных от частицы. Предполагается, что частица однородна, изотропна и надежно связана с матрицей. Такая задача была решена Гудиром, получившим следующие уравнения в полярных координатах (5.11):
Анализ напряжений пластиков

Система обозначения напряжений более подробно приводится в далее. Из уравнений Гудира видно, что максимальная концентрация напряжений реализуется на экваторе частицы эластомера (при r = R, Θ = 90°). На рис. 5.12 показана схема распределения напряжений в окрестности частицы полибута-диенового каучука, находящегося в матрице полистирола, выраженных как отношение наибольшего главного напряжения к приложенному напряжению. Концентрация напряжений очень быстро падает с удалением от поверхности частицы, и приведенная схема подчеркивает локальную природу поля напряжений. Однако значение поля напряжений заключается не в его протяженности, а в способности инициировать крейзы и полосы сдвига.
В основе метода анализа Гудира лежит теория упругости,, основанная на представлениях о сплошности материалов. Для частиц очень малого размера приведенные выше уравнения не являются строго справедливыми, так как в этом случае масштаб поля напряжений приближается к размерам атома. Например, коэффициент концентрации напряжений на расстоянии 1 нм уменьшается от 1,92 до 1,80 для частицы диаметром 100 нм. Для того чтобы представить себе значение этого, следует помнить, что диаметр молекулы полистирола равен 0,6 нм, а размер частиц в ударопрочном ПВХ часто меньше 100 нм.
Анализ напряжений пластиков

В случае сферической полости коэффициент концентрации напряжений на ее экваторе достигает максимального значения 2,05. В этой точке напряжение является двухосным, поскольку нормальные напряжения не могут возникать на свободной поверхности. Рассчитанное максимальное значение коэффициента концентрации напряжений на поверхности частицы эластомера немного ниже и составляет 1,92; напряжение является трехосным в основном потому, что изменение объема частицы эластомера определяется его модулем объемного сжатия, сопоставимым с модулем матрицы.
Коэффициенты концентрации напряжений для композиционных частиц эластомера с высоким содержанием твердых инклюзий имеют меньшие значения. Вследствие трудности расчета модуля упругости при сдвиге композиционных частиц влияние структуры на концентрацию напряжений не выяснено. Расчеты пределов показывают, что максимальное значение коэффициента концентрации напряжений на экваторе частицы, содержащей 80 % (об.) полистирольных инклюзий, составляет от 1,54 до 1,89.
Уравнения Гудира применимы к композиционным материалам с бесконечно малым числом частиц. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, частицы эластомера расположены слишком близко друг к другу, чтобы их можно было рассматривать как изолированные сферы, в связи с чем необходим другой подход. Аналитическое решение недоступно, и поэтому для анализа напряжений приходится выбирать числовой метод, приближенные решения или экспериментальные методы.
Анализ конечных элементов

Метод конечных элементов позволяет провести числовой анализ распределения напряжений в тех случаях, когда аналитическое решение невозможно. Предполагается, что рассматриваемые материалы обладают упругими свойствами, и их структуру разделяют на большое число малых элементов. Далее задачу решают с помощью ЭВМ, определяя распределения напряжений и смещений, которые удовлетворяют условиям равновесия и непрерывности элементов, а также граничным условиям, которые обычно формулируются в терминах приложенных сил или смещений.
Для полного анализа распределения напряжений в типичном ударопрочном полимере с высокой степенью наполнения частицами эластомера представительную область материала делят на тетраэдрические элементы и составляют программу для решения трехмерной задачи на ЭВМ. Полный анализ такого типа является трудоемким и дорогим и до настоящего времени к пластикам, модифицированным эластомером, не применялся.
Броутман и Панизе упростили метод конечных элементов, применив к случаю одноосного растяжения изотропного ударопрочного полимера приближенный метод. Их прием заключался в следующем: на матрицу, окружающую частицы эластомера, накладывали двухмерную решетку и вращали относительно оси растяжения, сохраняя стационарным центр частицы. Таким образом, элементарный анализируемый объем представлял собой матрицу в форме цилиндра, разделенного на осесимметричные элементы, в центре которого находилась частица эластомера. Граничные условия были выбраны таким образом, что сумма сил, действующих на торцевые поверхности цилиндра, была равна приложенному напряжению; сумма сил, действующих на цилиндр в радиальном направлении, равна нулю и напряжения сдвига, приложенные к цилиндру, тоже равны нулю. Авторы признают ограниченность метода, тем не менее полученные результаты представляют собой наилучшую доступную информацию о концентрации напряжений в полимерах с высокой степенью наполнения эластомером. В материалах с малой степенью наполнения результаты, полученные числовым методом, очень хорошо согласуются с аналитическими данными Гудира, что говорит об обоснованности приближенного метода конечных элементов.
На рис. 5.13 главные напряжения на экваторе частицы эластомера представлены как функция от концентрации эластомера в полимерной матрице, обладающей модулем Юнга 2,75 ГПа и коэффициентом Пуассона 0,35. Было найдено, что для эластомера изменение модуля Юнга от 7 до 21 МПа и коэффициента Пуассона от 0,35 до 0,50 незначительно влияет на расчетное распределение напряжений в матрице.
Анализ напряжений пластиков

На рис. 5.13 видно, что при расстояниях между частицами, принятыми в модели, коэффициент концентрации напряжений на экваторе частицы сравнительно медленно увеличивается с ростом объемного содержания эластомера приблизительно до 30 % и быстро возрастает при увеличении содержания эластомера от 40 до 50 %. В реальном полимере частицы эластомера распределены статистически и расположены намного ближе друг к другу, чем предполагается моделью цилиндрической ячейки, лежащей в основе метода конечных элементов. Это означает, что в реальном ударопрочном полимере максимальная концентрация напряжений при данном содержании эластомера значительно выше, чем показано на рис. 5.13.
В своем исследовании Эгервал и Броутман использовали трехмерный метод конечных элементов для расчета распределения напряжений в композиционных материалах, содержащих сферические частицы, и показали, что результаты коррелируют с данными, полученными приближенным методом осесимметричных элементов. Они пришли к выводу, что возрастание точности при использовании полного трехмерного анализа не настолько существенно, чтобы оправдать затрачиваемые усилия.
Экспериментальные методы

Стандартные методы фотоупругости для экспериментального исследования напряжений неудобны в случае неоднородных трехмерных полей напряжений в ударопрочных пластиках. Метод фотоупругости разработан для решения двухмерных задач. Однако существует альтернативный метод измерения максимальных значений растягивающего напряжения путем наблюдения за образованием крейз. Этот метод был разработан Мацуо с сотрудниками, который наполнял полистирол 3-миллиметровыми сферами эластомера и измерял критические напряжения и деформацию, необходимые для инициирования крейз на поверхности сферических частиц. На рис. 5.14 представлены результаты экспериментов с двумя сферическими частицами. В том случае, когда расстояние между центрами частиц больше, чем 2,90R (где R— радиус частицы), присутствие второй частицы не оказывает существенного влияния на напряжение, при котором образуется крейза. Другими словами, если частицы находятся друг от друга на расстоянии больше 0,9R, то поля напряжений перекрываются незначительно. Уменьшение расстояния вызывает рост концентрации напряжений в области между частицами и приводит к образованию крейз в основном в этой области.
Анализ напряжений пластиков

Для оценки напряжений рассмотренным методом необходимо ввести критерий образования крейз. Различные выдвинутые предложения обсуждаются далее; имеются экспериментальные доказательства того, что наиболее приемлемым критерием является критическая деформация растяжения. Поскольку наименьшие главные напряжения на экваторе частицы малы, то ошибка, обусловленная принятием крейзообразования в качестве меры напряжения, а не деформации, относительно невелика.
Оксборо и Боуден наблюдали инициирование крейз в ряду УПС с различным содержанием композиционных частиц эластомера. Решая совместно уравнения Гудира и уравнения пределов Хашина, они рассчитали предельные значения концентрации напряжений и получили хорошее соответствие между наблюдаемыми и рассчитанными величинами напряжения крейзообразования в материале, содержащем 3 % (об.) частиц эластомера: измеренное напряжение крейзообразования имело среднее значение между предельными значениями, рассчитанными для изолированной сферической частицы сложной структуры, содержащей 85 % (об.) полистирольных инклюзий.
Увеличение объемной доли композиционных частиц эластомера до 13 % вызывает падение измеренного напряжения крейзообразования, происходящее вследствие частичного перекрывания полей напряжений соседних частиц. При еще более высоких концентрациях эластомера происходит дальнейшее снижение напряжения крейзообразования. Эти наблюдения представляют естественную связь между механическими свойствами при низких деформациях, обсуждаемыми в этой главе, и свойствами при высоких деформациях, которые являются предметом обсуждения последующих глав.
Напряжения при термоусадке

Напряжения в ударопрочных пластиках возникают не только под действием нагрузки, но и при неравномерной термоусадке. Коэффициенты теплового расширения эластомеров выше, чем у стеклообразных полимеров, и поэтому охлаждение ненапряженного расплава полимера приводит к возникновению напряжений в частицах эластомера и окружающей матрице. Для изолированной частицы напряжение может быть рассчитано по уравнениям теории упругости. В случае композиционных частиц эластомера коэффициент расширения частицы можно рассчитать по уравнению (5.8).
Термоусадка внутри частицы βр вызывает трехосное растягивающее напряжение, описываемое следующим уравнением:
Анализ напряжений пластиков

Напряжения в матрице являются чисто девиаторными, так как отсутствует гидростатическая составляющая напряжения:
Анализ напряжений пластиков

Вследствие зависимости Tс от давления напряжение термоусадки в частицах эластомера вызывает сдвиг вторичного пика потерь в область более низких температур. Этот эффект может быть отнесен за счет изменения свободного объема эластомера под действием гидростатической составляющей напряжения. Было предположено, что напряжения, развивающиеся в матрице под действием дифференциальной усадки, влияют на текучесть ударопрочных пластиков, но доказательства этого влияния не четкие.