Обзор основных методов расчета механических свойств наполненных композитов

В настоящее время под термином ’’композитный материал” (или ’’композит”) обычно понимают структурно - неоднородные системы, полученные в результате смешения нескольких разнородных компонентов и обладающие свойствами, отсутствующими у исходных материалов. Если в строении композита можно выделить дисперсную (наполнитель) и непрерывную (матрица, связующее) фазы, то подобные материалы называются матричными и их обычно классифицируют по типу включений (зернистые, слоистые или волокнистые). Системы, в которых вместо частиц имеются поры или пустоты (пенопласты, губки и т. п.), также можно отнести к матричным композитам.
Практика показала, что, комбинируя методом проб и ошибок различные материалы, можно зачастую добиться благоприятного сочетания свойств, по научную основу для понимания и предсказания этих эмпирических результатов призвана обеспечить механика композитов — наука, главной отличительной чертой которой является учет в той или иной форме особенностей строения материала на уровне структурной неоднородности (обстоятельство, не характерное для классической механики деформируемого твердого тела). Это значительно усложняет применяемый математический аппарат, так как кроме трудностей, связанных с описанием процессов и явлений в отдельных компонентах, возникают еще проблемы из-за внутренней неоднородности материала. Наличие границ раздела между фазами делает задачи моделирования трудными, ’’непрозрачными” уже для сравнительно простых слоистых структур. Тем более усложняется ситуация для систем с нерегулярным строением (а именно такими и являются, как правило, реальные композитные структуры), и в ряде случаев настолько, что требуется применение новых нетрадиционных для классической механики подходов.
При выборе теоретической модели, описывающей поведение композита, необходимо следить, чтобы она удовлетворяла следующим естественным требованиям: во-первых, она должна с достаточной достоверностью воспроизводить наиболее важные особенности реального прототипа (условие адекватности); во-вторых, она должна быть непротиворечивой во всех теоретических построениях и допущениях (условие непротиворечивости); в-третьих, в предельных случаях она обязана приводить к физически правильным результатам (условие физичности). При выборе модели необходимо также уделять особое внимание адекватному отображению геометрического строения системы, учитывая при этом масштабные эффекты. Вместе с тем описание объекта должно быть разумно обобщенным, так как излишняя детализация может существенно усложнить расчеты без заметного повышения их точности. Так, материал, состоящий из сплошного твердого тела с изолированными замкнутыми включениями, размеры которых намного меньше среднего расстояния между ними, можно отнести к классу микронеоднородных сред и при расчете, например, эффективного модуля упругости воспользоваться моделью в виде одиночного включения в бесконечной упругой матрице. Если же размеры частиц соизмеримы с зазорами между ними, то данный подход уже будет неприемлем (нет учета взаимного влияния полей возмущений от соседних частиц) и надо использовать другие модели, соответствующие этой ситуации.
В многообразии работ, посвященных описанию свойств наполненных композитных материалов, можно выделить следующие основные направления.
Во-первых, это феноменологические теории, которые рассматривают композитный материал как макрогомогенную сплошную среду и дают лишь абстрактные математические связи, определяющие параметры которых вычисляются по результатам экспериментов. Таким образом, можно получить хорошее согласование расчета и эксперимента, но в принципе нельзя выполнить анализ внутренних физических причин, приводящих к тому или иному результату. Данный подход позволяет с удовлетворительной точностью описывать (интерполировать) поведение композитной системы в области известных опытных данных, но практически ничего не говорит о возможности экстраполяции на еще не исследованное экспериментаторами пространство.
Во-вторых, это статистические теории, которые чаще всего применяются для исследования прочностного поведения структурно-материалов. Они также предполагают существование некоторой макрооднородной изотропной среды с отдельными дефектами микроструктуры, распределенными в соответствии с теми или иными статистическими законами (обычно постулируется распределение по нормальному закону, или распределение Вейбулла). Эти теории не рассматривают реальной структуры материала и связанные с ней особенности напряженного состояния и не вкладывают реального физического смысла в понятие первичного элемента. Полученные с их помощью зависимости носят главным образом принципиальный характер. Для того чтобы перейти к количественным результатам, требуется привлечение дополнительной эмпирической информации.
И, наконец, это различные методы механики микронеоднородных сред, которые в настоящее время являются одним из наиболее распространенных и разработанных способов математического моделирования гетерогенных систем. Данный подход практически универсален и дает возможность построения единой концепции разнородных по своей природе задач и процессов. Во многих случаях, особенно для линейных моделей, удается получить оценки погрешностей, т. е. очертить границы применимости получаемых результатов. Вместе с тем следует предостеречь от непродуманных обращений к средствам этого класса, так как их необоснованное использование может привести к совершенно ложным результатам.
Все методы механики микронеоднородных сред основаны на двух базисных допущениях: а) структурные неоднородности в системе во много раз больше молекулярно-кинетических размеров (расстояний между молекулами, размеров кристаллов и т.д.), т. е. свойства каждого отдельного компонента можно описать опираясь на гипотезу о сплошном континууме; б) размеры неоднородностей намного меньше расстояний, на которых макроскопические или осредненные параметры системы изменяются существенно (вне поверхностей разрыва). Последнее утверждение означает, что в теле всегда можно выделить определенную промежуточную область, содержащую статистический ансамбль структурных элементов — мезоэлемент, а макроскопический объект рассматривать как совокупность, составленную из счетного множества этих непересекающихся мезоэлементов.
Первые исследования в области механики микронеоднородных сред связаны с работами Фойхта и Рейсса, предложивших формулы для вычисления упругих модулей композитов по правилу механического смешивания. Фойхт исходил из гипотезы однородности деформаций (в структурно-неоднородном теле), а Рейсс предполагал, что однородны напряжения. Их решения образуют так называемую вилку Рейсса-Фойхта, ширина которой пропорциональна квадрату соотношения модулей фаз.
В шестидесятые годы широкое развитие получил подход, связанный с использованием вариационных методов для вычисления и уточнения границ эффективных модулей упругости зернистых и волокнистых композитов. В этом направлении работали Хашин, Штрикман, Хилл. Последний, к примеру, в своих исследованиях исходил из предположения о равенстве модулей сдвига изотропных фаз композита, а Хашин и Штрикман — из принципа минимума дополнительной энергии. В дальнейшем метод получил развитие в работах Иеха, исследовавшего композиты с регулярным расположением включений в матрице и образующих двух- или трехмерную решетку. Предполагалось, что модули упругости матрицы могут быть как больше, так и меньше, чем у включений.
Вариационные методы применимы для композитных систем, когда модули упругости компонентов различаются не более чем на порядок. В противном случае ширина вилок становится настолько велика, что их использование теряет практический смысл.
В сороковых годах Лифшиц и Розенцвейг предложили метод расчета макросвойств поликристаллов на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости. Они получили точное решение для задачи об определении эффективных модулей слоистого тела, в котором каждый слой является анизотропным и не обладает ни одним из частных видов упругой симметрии. Кроме того, считалось, что все действующие на слои силы и моменты постоянны. Впоследствии этот подход получил широкое развитие в работах Ломакина, Шермергора, Хорошуна, Волкова и Ставрова, Соколкина, Сендецки, Берана и многих других исследователей. Основная идея статистических методов механики микронеоднородных сред заключается в том, что зависимость эффективных свойств композита от его структуры можно представить посредством случайных корреляционных функций различных порядков, отображающих морфологическую и физическую неоднородность структуры. Определение этих функций для конкретных материалов является непростой задачей и требует постановки специальных (и весьма трудоемких) экспериментов. В некоторых случаях их вид задавался априорно исходя из тех или иных структурных гипотез, требующих еще проверки и подтверждения на практике (т. е. опять-таки эксперимента).
Статистические методы механики микронеоднородных сред лучше всего подходят для расчета эффективных свойств статистических смесей, например спеченных порошковых полиметаллических композитов, так как в большинстве известных статистических подходов не учитывается связность компонент, т. е. выражения, получаемые для эффективных модулей, безразличны к формальной замене свойств матрицы на свойства наполнителя. Для композитных систем типа ’’мягкая матрица — жесткий наполнитель” или ’’жесткая матрица — мягкий наполнитель” это неприемлемо, так как они ведут себя совершенно по-разному, если механические свойства компонентов различаются достаточно сильно. Кроме того, при расчетах эффективных свойств таких материалов значительно усложняется вид соответствующих корреляционных функций (из-за резких пульсаций полей микронапряженого состояния).
Известно, что случайная геометрическая структура композитов со средней и высокой концентрацией частиц характеризуется наличием в ней элементов ближнего порядка и в принципе (в качестве первого приближения) ее можно попытаться заменить па регулярную. Такой подход получил название метода регуляризации. Переход к структурно-упорядоченным системам (т. е. обладающим дальним порядком) существенно облегчает дальнейшие расчеты и позволяет получить точную картину микронапряженного состояния в ячейке периодичности. Существуют два основных способа решения задач с регулярной структурой. Первый заключается в использовании двоякопериодических функций, когда решение представляется в виде рядов разложения по этим функциям, которые удовлетворяли бы граничным условиям. Точность метода зависит от количества рассматриваемых членов ряда. Второй подход состоит в использовании свойств симметрии регулярной решетки для перехода к краевой задаче теории упругости для конечной области, которая может быть решена классическими методами механики деформируемого твердого тела.
Будучи еще вполне приемлемым для средних наполнений, метод регуляризации все же не может быть положен в основу описания механического поведения наполненных композитов (особенно когда концентрация частиц приближается к предельной), так как стохастичность системы в этом случае становится одним из определяющих факторов в формировании эффективного механического поведения материала.
Следует также упомянуть и так называемый метод самосогласования. В его основе лежит решение задачи об изолированной неоднородности в однородном поле напряжений в среде, обладающей искомыми эффективными характеристиками. Это решение используется для нахождения бесконечно малого изменения упругого модуля при внесении в среду дополнительных неоднородностей.
Методы самосогласования лишь в некоторых случаях дают достаточно приемлемые результаты (низконаполненные композиты, материалы со слабовыраженной неоднородностью), но они не подходят для описания систем, существенно (как физически, так и геометрически).
Основной недостаток перечисленных выше методов и теорий в том, что они в недостаточной мере учитывают влияние структуры композита па его эффективные свойства. Более того, вводимые предположения и упрощения обычно направлены на то, чтобы в той или иной степени исключить из рассмотрения реальную структуру материала. Однако хорошо известно, что в высоконаполненных системах можно добиться значительного изменения их механических и прочностных свойств за счет варьирования фракционного состава наполнителя, размеров и формы включений. Следовательно, структура в таких материалах самым существенным образом сказывается на их эффективном поведении, и не учитывать данное обстоятельство уже нельзя. В настоящее время наиболее перспективны различные численные методы структурного моделирования (структурные теории), исходящие в первую очередь из специфики геометрической организации системы. Однако и у них имеются свои недостатки. Часть из них объясняется ”внешними причинами”. Так, довольно часто математическое моделирование процессов в композитных материалах затруднено в связи с отсутствием удовлетворительной физической модели. Например, на границе раздела компонентов могут возникать переходные зоны, где между контактирующими материалами происходит склеивание, отлипание, проскальзывание, диффузия и т.д. Наличие данных зон вполне можно учесть в рамках структурных теорий, но, как правило, свойства систем в области указанных зон или характеристики контактов недостаточно изучены и не позволяют дать однозначного количественного описания.
’’Внутренние” недостатки структурных теорий характеризуются тем, что в них зачастую рассматривают некоторые изолированные элементы, пренебрегая эффектами их взаимодействия. В то же время, например, для исследования прочности композитных материалов существенно именно взаимодействие отдельных включений, которое может привести к значительному усилению концентрации напряжений в системе. Ведь прочность есть свойство ’’структурно-чувствительное”, т. е. единичное малое изменение структуры, которое никак не скажется на эффективных жесткостных характеристиках материала, способно вызвать его разрушение.
Упомянутые проблемы не носят принципиального характера и вполне преодолимы, особенно при современном уровне развития вычислительной техники. Использование новых мощных компьютеров позволяет строить модели, содержащие большие ансамбли структурных элементов, и непосредственно ’’напрямую” исследовать влияние структуры композита на его макросвойства, учитывая и случайный характер наполнения, и взаимное влияние соседних частиц при высоких наполнениях, и многие другие факторы, труднодоступные для чисто теоретических или чисто феноменологических методов. Об одной из таких моделей, предназначенной для описания механического и прочностного поведения наполненных композитов с сильно выраженной неоднородностью свойств компонентов, и пойдет речь далее.