Дискретизация композитной среды на отдельные структурные элементы (СЭ)

Физическая дискретизация наполненной композитной системы типа ”мягкая эластомерная матрица — жесткие дисперсные частицы” производилась на основании того факта, что при деформировании подобных материалов наибольшие нагрузки испытывают матричные прослойки между включениями. Это подтверждается как решением соответствующих краевых задач о парном взаимодействии близко расположенных жестких сфер, помещенных в гораздо более мягкую упругую бесконечную матрицу, так и экспериментально на модельных образцах. Полученные в этих работах результаты свидетельствуют о том, что основная энергия упругой деформации сосредоточена в областях зазоров между соседними включениями, и ее концентрация там тем выше, чем ближе к друг другу они расположены. Возникающие в матричных прослойках напряжения могут более чем на порядок превосходить средний уровень.
Имеются и другие работы, авторы которых также указывают па главенствующую роль зазоров между частицами в формировании механических свойств наполненных композитов. Можно сказать, что матричные прослойки являются как бы ’’пружинами”, распределяющими и передающими приложенную внешнюю нагрузку от включения к включению (в то время как остальная часть объема материала практически не нагружена и не вносит никакого вклада в общее упругое сопротивление). Исходя из этого сложную реальную композитную систему можно разбить на относительно простые структурные элементы типа ’’включение — матрица — включение” и рассматривать деформирование материала как процесс их взаимодействия. Композит при этом представляется в виде ограниченной области, содержащей конечное число жестких сферических частиц, случайным образом расположенных в эластомерной упругой матрице (как частный случай возможна и регулярная решетка). Матрица, в отличие от включений, может повреждаться при деформировании.

Встречающиеся в композите структурные элементы могут различаться толщиной матричных прослоек, размерами включений, механическими и прочностными свойствами компонент и т. д. Соответственно будет различным и их механическое поведение. Кроме того, свойства СЭ в какой-то мере должны зависеть и от расположения соседних с ним частиц. Учет этого влияния, сам по себе являясь довольно сложной задачей, значительно снижает обсчитываемость модели без существенного выигрыша в ее точности. В пользу данного утверждения свидетельствуют и результаты, полученные из решения плоской краевой задачи о нескольких близко расположенных жестких дисках, помещенных в бесконечную упругую матрицу. Расчеты показали, что в случае достаточно малого расстояния между частицами (не более одного радиуса) напряженно-деформированное состояние в матричной прослойке практически не зависит от того, где располагаются остальные, не образующие данный зазор включения, хотя в целом по области картина распределения напряжений тесно взаимосвязана с ее геометрической конфигурацией. Исходя из плоской аналогии, можно предположить, что схожая ситуация будет наблюдаться и для сферических включений. Более того, в объемном случае этот эффект должен быть выражен еще сильнее, так как энергия ’’возмущения” от сферического включения убывает пропорционально кубу расстояния от его поверхности, тогда как в плоском случае оно пропорционально лишь квадрату удаления от частицы. Следовательно, в наполненных системах, когда средние расстояния между частицами не превышают их характерного размера, влияние окружения на свойства рассматриваемого СЭ можно считать несущественным.
Известно, что в случае линейно-упругих систем наиболее подходящим является использование методов аппроксимации, основанных на принципе эквивалентности энергии отображаемой и отображающей систем. Поэтому в рамках теории малых деформаций каждый реальный структурный элемент аппроксимировался линейноупругим стержнем с узлами в центрах включений, механические характеристики которого подбирались из условия равенства энергии деформации, накапливаемой в каждой из этих систем при их одинаковом нагружении.
Механическое поведение аппроксимирующего стержневого структурного элемента (ССЭ), вообще говоря, описывается с помощью следующих параметров:
1) Gl — жесткость па растяжение-сжатие (мера сопротивления смещению включений вдоль межцентровой линии, т. е. по оси ССЭ);
2) Sl — изгибная жесткость (мера сопротивления сдвигу включений в направлении, перпендикулярном межцентровой линии);
3) Tl — крутильная жесткость (мера сопротивления скручиванию частиц вокруг оси ССЭ).
Общая расчетная схема для определения Gl, S,, и T, показана на рис. 1. Рассматриваются две жесткие сферы с радиусами R1 и R2, помещенные в бесконечную упругую матрицу. К центрам включений может быть приложен один из следующих вариантов нагрузки:
FG — межцентровая сила (для определения Gl);
FS — сдвиговая сила (для определения Sl);
Fl — межцентровая сила (для определения Sl);
MT — крутящий осевой момент (для определения Tl).
Каждый из этих параметров независимо участвует в процессе накопления упругой энергии в структурном элементе, но величина их вклада в общую долю далеко не одинакова, и это, конечно, следует учитывать при разработке модели. Так, Франкель и Акривос в работе, посвященной изучению вязкости концентрированных суспензий из твердых сфер, показали, что вязкая диссипация энергии в таких системах вызывается в основном течением жидкости в узких промежутках между частицами. В пределах каждого отдельного зазора это течение варьируется движением двух образующих его сфер, которое можно разложить на составляющие вдоль и поперек линии, соединяющей их центры. При этом доминирующий член в асимптотической форме вязкой диссипации при высоких концентрациях дисперсной фазы определяется только относительным движением вдоль межцентровой линии. Так как поведение ньютоновской вязкой жидкости и гуковской упругой несжимаемой среды описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями, то можно ожидать, что подобная картина будет наблюдаться и для наполненных зернистых композитов с эластомерным (несжимаемым) связующим, т. е. Gl будет доминирующим по отношению к Sl и Tl параметром. В пользу данного вывода свидетельствуют и известные решения плоских краевых задач о взаимодействии близко расположенных дисков в бесконечной упругой матрице. Жесткость на растяжение-сжатие может в несколько раз превышать изгибную и крутильную жесткости элемента, причем это будет проявляться тем сильнее, чем ближе друг к другу расположены частицы. Поэтому для начала можно абстрагироваться от параметров Sl и Tl, взяв в качестве аппроксимирующего элемента ССЭ не с жесткими, а с шарнирными узлами, так как в этом случае для описания его механического поведения требуется лишь одна упругая характеристика Gl. Такое допущение позволяет (с сохранением вполне приемлемой точности аппроксимации) вдвое снизить число неизвестных степеней свободы, приходящихся на один узел ССЭ (с 6 до 3), и тем самым значительно упростить вычисления.
Как видно из общей расчетной схемы, для определения Gl требуется знать решение осесимметричной краевой задачи о двух сферах в упругой бесконечной матрице, находящихся под действием сосредоточенных сил, приложенных к центрам включений и направленных вдоль межцентровой линии.
Эта задача решалась с помощью итерационно-аналитического метода с разложением искомых функций в ряд по полиномам Лежандра. При расчетах отношение модулей Юнга матрицы и включений (Em и Ep соответственно) было взято равным Em/Ep = 10в-4, а их коэффициенты Пуассона считались равными 0,5, т. е. рассматривался случай несжимаемых компонент. На границе ’’матрица — включение” выполнялось условие полной адгезии. Толщину матричной прослойки между частицами δ варьировали в диапазоне от 0,1 до 3Rм, а соотношение размеров частиц ψ = Rк/Rм ≥ 1 бралось равным от 1 до б (Rк — радиус крупной сферы, Rм — мелкой). Этого диапазона ψоказалось вполне достаточно для практических расчетов, так как в реальных композитах при более значительных различиях в размерах частиц становится возможным применение принципа мультипликативности, когда, например, двухфракционную структуру можно уже рассматривать как монофракционную, состоящую только из крупных частиц, погруженных в эффективную гомогенную среду, которая сама в свою очередь является монофракционной композицией из мелких частиц в непрерывной матрице.
Проведенные исследования позволили установить, что ’’силы взаимодействия” между включениями, очень высокие при малых зазорах, резко падают по мере их увеличения и при δ = (1/2)Rм становятся практически незаметными. С ростом значений ψ предельная величина зазора, при которой частицы еще ’’чувствуют” друг друга, также возрастает. Для одинаковых δ и разных ψ концентрация энергии в матричной прослойке (а соответственно и жесткость ССЭ) будет тем выше, чем больше различие в размерах частиц.
Эквивалентная жесткость Gl аппроксимирующего ССЭ определялась по формуле

где W — упругая энергия, накопленная в структурном элементе при увеличении исходного межцептрового расстояния l = Rм + Rк + δ на величину Δl. Полученные зависимости Gl от δ, ψ и Em представлены на рис. 2.
Для большей наглядности (ввиду того, что Gl → ∞ при 8 —* 0) по оси ординат отложена величина, обратная Gl — т. е. податливость. Эти кривые были аппроксимированы эмпирической формулой, которая и использовалась в дальнейших расчетах:

δ = δ/Rм — зазор между сферами, выраженный в долях радиуса малой частицы. Относительная погрешность аппроксимации не превышала 2%.
В конечном счете, заменив все реальные структурные элементы на их дискретно-механические аналоги, получим конечно-элементную стержневую систему с шарнирными закреплениями узлов, где каждый k-й узел соответствует k-му включению, а стержень (i, j) — реальному структурному элементу, содержащему i-ю и j-ю частицы. При этом каждый из ССЭ имеет свою собственную жесткость, найденную из решения конкретной задачи о взаимодействии двух включений, образующих данный элемент.
Аналогично строится соответствующая модель и для случая волокнистых однонаправленных композитов, структуру которых можно представить как комбинацию плоских дисков, случайным образом расположенных в трансверсальной плоскости анизотропии (перпендикулярной направлению волокон). Их взаимодействие также можно аппроксимировать эквивалентными стержневыми элементами, только их упругие характеристики уже следует искать из решения задачи о взаимодействии двух близко расположенных жестких дисков в условиях плоской деформации. Фрагмент такой стержневой системы (в объемном случае картина будет в принципе аналогичная, но менее наглядная из-за наличия третьей координаты) показан на рис. 3.