Определение связи между микро- и макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

26.08.2015

Как уже говорилось ранее, в механике композитов существуют два уровня описания их механического поведения — микро- и макроскопический. В первом случае рассматриваются микроструктурные (истинные в смысле механики сплошной среды) напряжения и деформации, действующие в матрице и частицах наполнителя и удовлетворяющие условиям непрерывности на границах разделов фаз. Совершенно очевидно, что выполнять точные краевые расчеты на этом уровне в целях описания свойств композита в целом — заведомо нереальная задача, так как в его структуре содержатся, как правило, миллионы включений. Однако, если воспользоваться известной гипотезой об эквивалентной гомогенности среды, то можно вполне корректно и с гораздо меньшими усилиями перейти от микроструктурных характеристик к макроскопическим (их еще называют эффективными) свойствам композитного материала. Гипотеза включает в себя процедуру статистического осреднения, посредством которой действительное состояние и поведение структурно-неоднородного материала идеализируется таким образом, что его можно рассматривать как макрогомогенный континуум, когда присущие среде характерные свойства будут одинаковы в любой ее точке. Полученные в результате осреднения эффективные характеристики композита — это те характеристики, которые следует закладывать в расчеты конструкций, сделанных из данного материала, при использовании аппарата классической механики сплошных сред. Соотношения между осредненными макросвойствами композита и свойствами его компонент в совокупности с учетом особенностей микроструктуры лежат в основе оптимизации композитных изделий. Применимость гипотезы об эквивалентной гомогенности среды определяется следующим необходимым условием.
В композите всегда должна иметься возможность выделения определенной промежуточной области, содержащей статистически представительное количество структурных неоднородностей — мезоэлемента, размеры которого остаются малыми по сравнению с макроскопическими габаритами тела. Тогда любую конструкцию, сделанную из данного материала, можно представить как составной объект из счетного множества этих исчезающе малых на макроуровне непересекающихся мезоэлементов и напряженно-деформированное состояние в каждом ее элементарном объеме рассматривать как результат осреднения по соответствующему мезоэлементу.
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Для нашей структурно-механической модели стандартные процедуры осреднения, используемые обычно в механике композитов, не применимы, так как переход от реальной сплошной структурно-неоднородной среды к стержневой конечно-элементной системе предполагает отказ от использования истинных микропапряжений и микродеформаций, детально характеризующих НДС в каждой точке материала. Поэтому поиск упругих эффективных характеристик наполненного зернистого композита в рамках CMMK осуществлялся по специально разработанной для данного случая схеме.
В отображающей реальную композитную структуру стержневой системе вырежем мезоэлемент ΔV в виде параллелепипеда с гранями, перпендикулярными к осям прямоугольной Декартовой системы координат (рис. 4), в котором содержится достаточно представительное количество ССЭ
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Пересеченные этими гранями ССЭ будем считать граничными, а точки пересечения ССЭ и грани назовем граничными точками. Тогда перемещение m-й грани в i-м направлении можно найти но формуле
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

где nm — число структурных элементов, пересекающих m-ю плоскость, uikm — перемещение k-й граничной точки, принадлежащей m-й грани в i-м направлении.
Для характеристики напряженно-деформированного состояния в выделенном элементарном объеме ΔV (мезоэлемепте) введем тензоры эффективных напряжений и эффективных деформаций композита σijc и εijc соответственно, имеющие тот же физический смысл, что и в обычной механике сплошных сред. Понятно, что из соображений равновесия выделенного объема σijc и εijc должны быть симметричными объектами. При малых деформациях компоненты эффективного тензора εijc можно задать через компоненты векторов перемещений соответствующих граней аналогично формулам Коши в классической теории упругости:
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Компоненты тензора эффективных напряжений σijc определяются по следующей схеме. На каждой m-й грани мезоэлемента вычисляются Декартовы составляющие действующей па ней силы Fxm, Fym и Fzm, зная которые, можно перейти к компонентам тензора σijc:
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Так как описываемая здесь структурно-механическая модель состоит из линейно-упругих элементов, то совершенно очевидно, что связь между эффективными напряжениями и эффективными деформациями также будет носить линейный характер, т. е. подчиняться закону Гука
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

где Ec — эффективный модуль Юнга композита, а Vc — его эффективный коэффициент Пуассона.
Для определения Ec и Vv в макроизотропном материале достаточно рассмотреть лишь его одноосное нагружение, которое моделировалось в стержневой системе следующим образом.
Пусть растяжение данного мезоэлемента производится вдоль оси у. Тогда внутри него около 3- и 4-й граней (перпендикулярных направлению приложения нагрузки) следует выделить два граничных слоя с толщиной δу, равной примерно 1/2 характерным размерам ССЭ. При задании граничных условий первого рода ко всем узлам, попавшим в один из этих слоев, прикладываются силы, совпадающие по направлению с внешней нормалью к соответствующей поверхности мезоэлемеита. Если же задаются граничные условия второго рода, то каждому k-му узлу из выделенного приповерхностного слоя придается перемещение uyk, величина которого прямо пропорциональна расстоянию от данной 2 точки до верхней грани. Тем самым в рассматриваемом объеме моделируется макрооднородное поле растягивающих деформаций. Далее решается обычная конечно-элементная задача и отыскиваются перемещения всех узлов стержневой системы. Зная их перемещения, можно определить продольные деформации ССЭ и возникающие в них усилия (но известным жесткостям). Этой информации уже вполне достаточно, чтобы с помощью формул (5)-(7) получить недостающие значения макронапряжений или макродеформаций.
Данный способ определения компонент тензоров σijc и εijc можно существенно улучшить, если перейти от осреднения по границам мезоэлемента к осреднению по его объему, так как это позволяет более полно учесть все особенности его структуры. Некоторое усложнение расчетной схемы вполне компенсируется повышением качества результатов. Основная идея перехода к объемному осреднению состоит в следующем.
Внутри области проводится набор из n секущих плоскостей, перпендикулярных оси внешнего нагружения (в пашем случае оси у) и отстоящих друг от друга на равных расстояниях. Число n выбирается таким образом, чтобы количество ССЭ в каждом из сечений не сильно отличалось от среднего значения. При расчете суммарного усилия, действующего на i-й секущей плоскости, для всех пересекающих ее стержневых структурных элементов вычисляются возникающие в них силы реакции на приложенную внешнюю нагрузку, а также их проекции на ось у — Fyik (k — номер ССЭ). Среднее нормальное напряжение, действующее на i-й плоскости, определяется по формуле
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

где mi — число структурных элементов в i-м сечении.
Перемещение i-й секущей плоскости в направлении у определяется как среднее арифметическое смещений всех mi точек ее пересечения со ’’своими” ССЭ — uyik:
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Зная эти перемещения, можно найти соответствующую деформацию объема, заключенного между любыми i-м (yic = const) и j-м (уjc = const) сечениями, как
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Если граничные условия заданы в перемещениях, то выражение (10) преобразуется к виду
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

так как при выбранной схеме нагружения верхняя грань мезоэлемента (y2 = const) остается неподвижной, а перемещается лишь нижняя граница структуры. В этом случае осреднение по объему элементарной области ΔV наиболее естественно проводить, рассчитывая деформацию сечений относительно закрепленной поверхности. Сравнение результатов расчетов, полученных при задании граничных условий как в перемещениях, так и в напряжениях, показало, что первый способ позволяет более надежно и с меньшими искажениями моделировать макрооднородное поле растягивающих деформаций, что и послужило основанием для выбора ее в качестве базовой.
Осреднив еще раз {σyy}i и {εyy}i по всем n сечениям, получим искомые значения компонент σyyc и εyyc:
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Поиск остальных компонент тензоров σijc и εijc производится в соответствии с соотношениями (6),(7) по той же схеме.
Теперь уже ничто не мешает нам вычислить эффективные упругие константы наполненного композита Ec (модуль Юнга композита) и Vc (коэффициент Пуассона), воспользовавшись формулами закона Гука (8), которые для случая одноосного растяжения принимают вид
Определение связи между микро- и  макроскопическим поведением наполненного композита с помощью структурно-механической модели