Осреднение и оценка представительности объема структурного мезоэлемента

Определение эффективных свойств композитов методами структурного моделирования неизбежно ставит вопрос о тех предельных размерах мезоэлемента, для которых справедливы установленные в предыдущем разделе соотношения. Рассуждения по этому поводу носили пока слишком общий характер, и понятие о представительном объеме выборки, достоверно отображающей макросвойства исследуемого материала, нуждается в уточнении применительно к каждому конкретному классу задач.
Разумеется, если работать с системами, в которых содержится заведомо избыточное количество структурных элементов (а это десятки, сотни тысяч частиц), то полученные результаты будут иметь практически пулевой случайный разброс. Однако такое решение проблемы сведет на нет все преимущества структурного подхода из-за огромных объемов и стоимости вычислений.
В то же время, оперируя слишком малыми выборками, трудно получить правдоподобные данные вследствие большого статистического разброса, вызванного невозможностью отобразить на малой базе все необходимые особенности структуры композитного материала. Следовательно, задача состоит в определении разумного оптимального числа структурных элементов, которое должна содержать структурно-механическая модель, чтобы с достаточной точностью отображать эффективное поведение композита и в то же время не вызывать чрезмерных затрат компьютерных ресурсов.
Вопрос о представительности объема для плоских структурных моделей, предназначенных для описания свойств однонаправленных волокнистых композитов со случайной укладкой армирующих элементов, исследовался Г.И. Хаитом. Он изучал статистические распределения усилий и деформаций, возникающих в плоских стержневых структурных элементах при одноосном макрорастяжении системы в плоскости, перпендикулярной к направлению волокон. С помощью этих распределений была произведена оценка представительного числа структурных элементов в зависимости от требуемой точности результатов при различных плотностях укладки волокон. Было установлено, что при концентрациях в пределах от 0,5 до 0,85 от предельно достижимой 90%-я надежность расчета эффективных упругих характеристик композита обеспечивается системами, содержащими от 300 до 500 ССЭ, что соответствует примерно 150/250 волокнам.
Чисто геометрические исследования плотных и разреженных случайных структур (см. главу 2) показали, что для получения устойчивых структурных характеристик требуются ансамбли, состоящие примерно из 150/200 частиц, независимо от того, плоские это системы (из дисков) или пространственные (из сфер). Отсюда можно предположить, что полученные Хаитом результаты применимы и в пространственном случае, т. е. для надежного определения эффективных упругих характеристик наполненного зернистого композита с точностью порядка 90% достаточно иметь структуры, содержащие примерно такое же количество включений. Увеличение возможных локальных конфигураций взаимного расположения частиц, вызываемое появлением третьего измерения, будет учтено соответствующим ростом числа ССЭ. Например, в случайной пространственной системе из 200 частиц их будет уже порядка тысячи.
Для того чтобы исключить искажающее влияние граничных эффектов, а также для большей надежности исследования велись па структурах, содержащих от 300 до 500 частиц (примерно 1500/2500 ССЭ). Такие объемы оказались оптимальными для расчетов, так как они обеспечивали вполне приемлемую точность результатов, и в то же время их обработка была вполне посильна для ЭВМ типа БЭСМ-6, ”Эльбрус” и даже для достаточно мощных персональных компьютеров класса IBM 486/DX. Нa определение эффективного модуля зернистого композита с монофракционным наполнением на основе случайной системы из 300 частиц требовалось около 40/45 мин на БЭСМ-6 и примерно 7/8 мин на ”Эльбрусе”. Главные вычислительные проблемы заключались в том, что при решении трехмерной конечно-элементной стержневой задачи со случайным расположением узлов формируется очень широкая глобальная ленточная матрица жесткости. Хотя для ее ”сужения” и применялись различные алгоритмы оптимальной перенумерации узлов (в частности, хорошо зарекомендовал себя метод Катхилла-Макки), ширина лепты все равно оставалась настолько велика, что для прямого решения системы линейных уравнений потребовалось использование специально предназначенной для таких случаев программы.
Для проверки того, в какой мере высказанные выше предположения о представительности объема моделирующей композит стержневой системы соответствуют действительности, были проведены следующие исследования.
Считалось, что для одних и тех же заданных на входе в модель структурных и механических параметров значение эффективного модуля композита Ec есть некая случайная величина, каждая конкретная реализация которой Eic является результатом i-го независимого испытания. Исходя из этого независимо друг от друга синтезировалось n объемных случайных структур из 300 ± 500 включений одинакового размера, имеющих одинаковую концентрацию и для каждой структуры определялось свое значение эффективного модуля Юнга. Далее производилась статистическая обработка полученных результатов, т. е. вычислялись статистические оценки математического ожидания {Ec}, дисперсии D(Ec) и определялись соответствующие доверительные интервалы

Так как {Ec} представляет собой сумму из n независимых одинаково распределенных случайных величин Еci, то его закон распределения можно приближенно считать нормальным и в дальнейшем воспользоваться стандартными методиками для определения доверительных границ.
В таблице приведены результаты оценки точности и статистической надежности расчетов Ec для монодисперсных зернистых композитных систем с различными степенями наполнении. Iβ = {Eс} есть доверительный интервал, вычисленный через распределение Стьюдента и определяющий ту область значений модуля, для которой выполнялось бы условие

где β — доверительная вероятность, т. е. такая, при которой данное событие можно считать практически достоверным, εβ — величина, значение которой находят из распределения Стьюдента по известным β, n, D(Ec). В нашем случае количество независимых испытаний для каждой концентрации бралось равным 6.
Анализ полученных результатов показал, что разброс значений Eic, вычисленных для различных реализаций СММК, имеющих одинаковые макроструктурные характеристики, оказался весьма незначительным. Наше предположение о том, что объемные случайные структуры, содержащие порядка 300 частиц, являются вполне представительными для расчета эффективных упругих характеристик наполненных зернистых композитов, подтвердилось.