Исходные гипотезы и основные математические формулы кинетико-статистического анализа условий появления микроповреждений

Рассмотрим один из возможных способов одновременного использования аппарата теории вероятностей и кинетических закономерностей разрушения. Безусловно, приводимые примеры не претендуют на исчерпывающее объяснение. Это только предположения. Нac интересует процесс появления первичных повреждений в эластомер-ном материале с твердым наполнителем зернистого типа. Ими могут быть вакуоли (образующиеся при отслоении матрицы от включения) или микроразрывы самого связующего. События имеют место на масштабном уровне отдельных включений. Их относят к явлениям микроструктурного разрушения (в отличие от макроразрушения, приводящего к потере работоспособности всего изделия из композитного материала).
• Выскажем следующую гипотезу. Эффект повышения прочности эластомерного материала при уменьшении размеров частиц наполнителя связан с кинетико-статистической природой механизма появления повреждений (в основе которой лежaт термофлуктуации на микроскопическом уровне с малыми временами жизни и с малыми характерными размерами).
Таким образом, ключевым понятием будем считать понятие термофлуктуации. Ниже предлагается феноменологический путь построения модели. Это означает, что мы отказываемся от рассмотрения тепловых движений элементов системы на уровне отдельных молекул или звеньев полимерных цепей. Возьмем за основу следующие три факта.
• Флуктуации возникают случайно. Практически всегда их величина пренебрежимо мала. Исключения из этого правила почти невозможны. Существует связь между статистическими характеристиками флуктуаций, температурой среды и действующими в ней напряжениями.
• Флуктуации происходят на очень малых размерах пространства (в точках среды). Появление разрушающей термофлуктуации (достаточно большой по величине) приводит к мгновенному прорастанию микродефекта из этой точки материала.
• Флуктуации происходят за очень малые промежутки времени. Будем считать их мгновенными.
Таким образом, термофлуктуации отмечаются в пространстве и во времени. Причем они представляют собой мгновенные независимые отклонения характеристик среды от средних значений в независимых друг от друга точках пространства. Эти отклонения, как правило, ничтожно малы. Вероятность появления отклонения от средних значений на заметную величину практически равна пулю. Однако полностью исключить возможность появления заметной флуктуации нельзя.
• В рамках механики сплошной среды пользуются обычно следующим утверждением: поскольку флуктуации практически всегда малы по величине, происходят в точках среды и мгновенны по продолжительности, их проявлением на уровне механики сплошной среды можно пренебречь.
• Справедливо это утверждение только в том случае, когда речь идет о характеристиках среды, представляющих собой некоторые интегральные (с точки зрения физики) величины. Это энергия, энтропия, температура, напряжения, деформации и т.д.
• Однако это утверждение ошибочно, когда речь заходит о критических явлениях на уровне механики сплошной среды. К ним относится появление микроповреждений.
Поясним это на примере. Характерный размер субмикроскопических разрывов в полимере измеряется величинами, соизмеримыми со значением 10в-7 м. Средний ’’период” собственных колебаний атомов описывается временами, сравнимыми с интервалом 10в-13 с. Возьмем эти величины за основу. Предположим, что вероятность появления флуктуации, приводящей к образованию субмикроскопического дефекта в объеме материала Vf = 10в-7 м * 10в-7 м * 10в-7 м = 10в-21 м3 за интервал времени Δtf = 10в-13 с, равна значению Pf = 10в-24. Это практически невозможное событие. Кажется, что субмикроскопические дефекты в полимере при таких условиях появиться не могут. Однако это только первое впечатление.
Пусть пас интересует вероятность появления субмикроскопического дефекта в области полимера объемом V = 10в-9 м3 (1 мм3) за время наблюдения, равное Δt = 1 с. Объем V состоит из m = V/Vf малых объемов размером Vf, в каждом из которых вероятность появления субмикроскопического дефекта на интервале времени Δtf оценивается величиной Pf. В свою очередь весь интервал времени Δt разбивается на n = Δt/Δtf интервалов продолжительностью Δtf. Таким образом, вероятность того, что в объеме Vf на интервале времени Δf не появится субмикроскопический дефект, равна

То же самое событие, но для объема V на интервале времени At, оценивается величиной

А противоположное событие (появление дефектов) будет иметь вероятность

Следовательно, в полимерном материале объемом 1 мм3 на интервале времени продолжительностью 1 с по крайней мере один дефект обязательно возникает. Вывод справедлив в случае независимости флуктуаций в рассматриваемых малых объемах и малых интервалах времени.
Это всего лишь очень упрощенный качественный пример. Реальная действительность требует более аккуратного математического описания. Ho главная цель достигнута. Показано, что малые геометрические размеры и малые времена жизни флуктуаций делают практически невозможные события на субмикроскопическом уровне естественными для реальных размеров материала и реальных времен наблюдения.

Еще раз остановимся внимательно на приводимых выкладках. Повторим снова их с некоторыми уточнениями. Покажем, как в рамках представлений о случайном пространственно-временном характере появления повреждений можно сформулировать связь между вероятностью события, временем, объемом и условием нагружения (напряжениями). Рассмотрим материал объемом ΔV (состоящий из га маленьких одинаковых объемов ΔVо) и интервал времени Δt (состоящий из n маленьких одинаковых интервалов времени Δto):

Нас интересует оценка возможности появления повреждения в условиях действия па упругую среду постоянных по времени и одинаковых во всех точках среды напряжений. Пусть вероятность появления повреждения в объеме материала ΔVo за интервал времени Δto оценивается величиной Po (зависящей от инварианта действующих напряжений σk):

Считаем, что повреждение может появиться равновероятно в любом из га одинаковых объемов (образующих рассматриваемый объем ΔV) в любом из n одинаковых по величине интервалов времени (образующих интересующий нас интервал Δt). Оценим возможность обратного события. Вероятность того, что нигде в рассматриваемом объеме ΔV за рассматриваемый интервал времени Δt не появится повреждение, описывается формулой

представляет собой вероятность того, что на малом интервале времени Δt0 в малом объеме материала ΔVo при действующей нагрузке не появится повреждение. В свою очередь произведение nm учитывает количество ситуаций (малых интервалов времени Δt0 в рассматриваемом интервале Δt и малых объемов материала ΔV0 в рассматриваемом объеме ΔV), в которых с вероятностью Рo* выполняется это событие.
Таким образом, логарифм вероятности Р* с учетом равенств (4) и (5) имеет вид выражения

Мы получили искомую зависимость (6). Она позволяет понять связь между величиной Р*, условиями нагружения материала σk, интервалом времени At, объемом среды ΔV.
• Логарифм вероятности отсутствия повреждений пропорционален рассматриваемому интервалу времени и объему материала.
Вывод получен для однородного в пространстве и постоянного во времени поля напряжений. При этом существенным образом использована гипотеза о статистической независимости рассматриваемых событий в элементах объема и интервалах времени.

Приведенные рассуждения можно использовать в качестве отправного момента для более сложной ситуации. Речь идет об описании условий появления адгезионных и когезионных повреждений в системе эластомерная матрица - включения для неоднородного по пространству и изменяющегося во времени поля напряжений. Возьмем за основу для расчетов следующую гипотезу.
• Вероятность появления в эластомере повреждения в данный момент в данной точке зависит только от напряжений, действующих в рассматриваемый момент в указанной точке.
Математически сформулируем ее с помощью следующих зависимостей:

где P* — вероятность того, что в эластомере объемом V с площадью контакта с поверхностью наполнителя S на интервале времени [t0, t] не произойдет адгезионных и когезионных повреждений; Pijk — вероятность отсутствия появлений в элементе объема ΔVj (ΔVj c V) в интервале времени Δti (Δti c [t0, t]) когезионных повреждений; Pina — вероятность отсутствия появлений в элементе поверхности контакта ΔSn (ΔSn С S) в интервале времени Δti адгезионных повреждений; Fk и Fa — некоторые функции; (Jk — инвариант тензора напряжений в точке эластомера с координатами xj, m, zj (к которой стягивается при предельном переходе объем ΔVj) в момент ti (получаемый при стремлении интервала времени Δti к нулю); σa — скалярная характеристика вектора усилий на поверхности контакта с наполнителем в точке с координатами xn, yn, zn (к которой стягивается при предельном переходе элемент поверхности ΔSn) в момент ti.
Логарифмируя выражение (7) и используя условия (8), (9), приходим к равенству

которое после предельного перехода Δti → 0, ΔVj → 0, ΔSn → 0 (получаемого путем все более мелкого дробления объема V, поверхности S и интервала времени [to, t] на части) принимает вид

Таким образом, в рамках сформулированной выше математической гипотезы вероятность появления в эластомере повреждения P определяется выражением

Оно оценивает событие, противоположное событию сохранения целостности эластомера в том виде, который был на момент t0. Поле напряжений подразумевается неоднородным в объеме V и изменяющимся во времени.
Повторим проделанные выкладки отдельно для анализа условий только адгезионного и только когезионного разрушения. В итоге получим аналогичные формулы расчета вероятности появления когезионного Pk и адгезионного Pa повреждения:

Для эластомеров в качестве функций Fk и Fa разумно выбирать следующие:

где H(...) — функция Хевисайда. По своему виду формулы (13), (14) напоминают выражения, используемые для описания долговечности эластомерных материалов. Целесообразность их применения может быть подтверждена путем сравнения расчетных значений с экспериментальными данными. В табл. 1 приведены необходимые формулы для моделирования условий появления повреждений.