Моделирование условий появления повреждений около одной частицы наполнителя

Прежде чем анализировать условия появления и роста поврежденности на ансамблях включений или композите в целом, разумно остановиться на анализе ситуации около одного единственного включения. Масштабные явления разрушения обнаруживаются даже около единственной частицы наполнителя с размерами от одного до сотен микрометров.
Чтобы объяснить их с позиций статистических теорий прочности, необходимо допустить существование субмикроскопических дефектов в системе па масштабном уровне, измеряемом долями микрометров. Фактически это означает существование дефектов на физическом уровне среды (соизмеримых с короткими отрезками цепей полимерных молекул). При этом возникают вопросы: что они могут представлять? какова их физическая природа?
В то же время для объяснения явления только одним фактом существования слоя с особыми свойствами на поверхностях включения или специфическими процессами на границе наполнитель -связующее потребуется дать ответ на другой вопрос. Почему масштабный эффект прочности наблюдается па характерных размерах, измеряемых и микрометрами, и сотнями микрометров?
Далее исследуется ситуация с кинетико-статистической точки зрения.

Рассмотрим бесконечный упругий материал, содержащий твердое сферическое включение. Нa границе матрица - частица наполнителя выполняются условия полного прилипания. Нa бесконечности приложено однородное поле нагружения, изменяющееся во времени. Пусть это будет одноосное растяжение вдоль оси х3 напряжением, равным

где σ'∞ — константа, имеющая смысл скорости приложения нагрузки на бесконечности. Вычисления осуществим в рамках линейной Гуковой модели. Безусловно, более правильным в расчетах было бы использование нелинейных моделей с конечными деформациями среды, но они значительно затруднят задачу. В решениях изменятся только количественные значения величин. Качественный характер вычисленных закономерностей и их принципиальных отличий останется без изменения. Нac сейчас интересуют именно качественные отличия. Поэтому в расчетах далее будет использована более простая Гукова модель.
Покажем, что предлагаемая точка зрения способна воспроизводить наблюдаемые в экспериментах явления. В качестве инварианта σk в формуле (13) выберем среднее (гидростатическое) напряжение

Здесь символами σ1, σ2, σ3 обозначены главные напряжения в точках среды. В качестве скалярной характеристики отрывных усилий σа в формуле (14) на поверхности включения используем компоненту тензора напряжений σrr:

Это силы, отнесенные к единице площади на границе частицы, действующие со стороны связующего по оси r в сферической системе координат. В качестве основных характеристик для расчета условий появления повреждений σk и σa выбраны величины σh и σrr в целях точного воспроизведения места, где повреждения возникают. Ими являются в материале полюса сферических частиц.
Используем аналитическое решение. Поле гидростатических напряжений в матрице около частицы наполнителя описывается формулой

Распределение компоненты тензора напряжений σrr задается выражением

Эластомер считается несжимаемым материалом (коэффициент Пуассона матрицы равен 0,5). В приведенных зависимостях параметр rp обозначает радиус частицы наполнителя, r и 0 — координаты сферической системы координат, связанной с Декартовыми координатами x1, x2, х3 соотношениями

Сразу отметим, что во всех испытаниях образцов будет наблюдаться только когезионное разрушение матрицы, когда вклад поверхностного интеграла в формуле (10) существенно меньше вклада от объемного интеграла:

В этом случае выражение (10) эквивалентно формуле (11).
Возможна и обратная ситуация. Во всех испытаниях будет фиксироваться адгезионный отрыв матрицы от поверхности частицы, когда знаки неравенства (16) изменятся на противоположные:

В этом случае выражение (10) эквивалентно формуле (12). Нa практике такого результата можно добиться с помощью специальной обработки поверхности включения. В расчетах подобный результат получается при задании нулю значений соответственно Ba в формуле (14) или Bk в формуле (13). Так мы и будем поступать. Это позволит нам анализировать раздельно когезионный масштабный и адгезионный масштабный эффекты прочности.
Осуществив необходимые математические выкладки, получим следующее. Вероятность появления когезионного повреждения в матрице определяется выражением

адгезионного разрушения (отслоения эластомера от поверхности частицы, появление вакуоли в системе) — выражением

в котором значения безразмерных величии Jk и Ja вычисляются по формулам

где ck = μnk + 1rp3, сa = μna + 1rp2. Здесь символ μ обозначает модуль сдвига эластомера. Объем V в данном случае бесконечен. Подынтегральное выражение в объемном интеграле отлично от нуля лишь па конечной части области V благодаря функции Хевисайда в выражении Fk(σk). Нетрудно проверить, что величины Jk и Ja представляют собой безразмерные функции параметра σ∞, не зависят от радиуса включения rp и скорости нагружения σ'∞.
Осуществим расчеты для конкретного материала. Пусть это будет эластомер Cis-4. Эксперименты выполнены Парком и Джентом. Их можно воспроизвести в расчетах, выбирая соответственно следующие значения констант: Dk = 7,17 * 10в7 МПа-3,3 * м_3 * с-1; nk = 3,3, σkmin = 1,7 МПа; Ba = 8,67*10в3 МПа-33 * м-2 * с-1; na = 3; σamin = 0; μ = 0,5 МПа. Для скорости приложения нагрузки на бесконечности σ'∞ выбираем значение 0,001 МПа/с.

Результаты вычислений показаны на рис. 1. Именно в таких координатах представлены в работе Парка и Джента экспериментальные данные. Там же сделай вывод о разумности аппроксимации эмпирических результатов в указанных координатах линейной зависимостью напряжений σ∞ (вызывающих появление повреждения в системе) от величины D-0,5:

В наших же расчетах линейная связь получилась только для условия адгезионного разрушения. Однако нелинейная зависимость для условия когезионного разрушения в системе тоже хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Приведенные результаты говорят о достаточной разумности кинетико-статистического подхода. Имеет смысл попробовать применить его для других задач.

Неожиданные результаты обнаруживаются в рамках используемого подхода при анализе условий появления повреждений в ячейке периодичности композита, включения которого расположены недалеко друг от друга. Решение задачи в объемном случае представляет собой трудоемкую вычислительную проблему. Пашей целью является иллюстрация новых качественных выводов. Поэтому для примера выбрана простая математическая модель. Она описывает главные черты поведения связующего в композитном материале (существенную неоднородность напряжений, контакт с наполнителем), позволяет вычислять эффективные свойства среды.
Пусть эластомер наполнен одинаковыми цилиндрическими волокнами бесконечной длины, ориентированными параллельно друг другу. Структура его периодична. В сечении композита (проведенном перпендикулярно направлению волокон) наполнитель представлен кругами с центрами в узлах правильной прямоугольной решетки. Материал находится в условиях одноосного макроскопического растягивающего напряжения. Нac интересует влияние фактора времени на особенности появления повреждений в связующем.

Сравним результаты двух расчетов условий когезионного разрушения: 1) в ячейке периодичности композитного материала с толщиной ячейки вдоль оси ориентации волокон l (рис. 2, а); 2) в аналогичном объеме связующего без волокна (рис. 2, б). Символом l обозначено расстояние между центрами волокон в сечении композита. Полагаем, что наполнитель абсолютно твердый и прочно приклеен к матрице. Расстояние между волокнами равно 0,1 расстояния между их центрами (h = 0, 1l). Для простоты вычислений возьмем величину σkmin в формуле (9) равную нулю, a nk равное трем. Кроме этого, возьмем равной пулю функцию Fa(σa) (запрещаем появление адгезионного разрушения). В обоих случаях сравниваемые материалы деформируем с одинаковой макроскопической скоростью (моделируется ситуация, в которой образцы из чистого эластомера и композита испытываются на растяжение с одинаковыми скоростями движения захватов). Естественно, что в этих условиях скорость изменения напряжений в композите будет существенно выше, чем в ненаполненном эластомере. Обсуждаемые ниже расчеты выполнены методом граничных интегральных уравнений в предположении малых упругих деформаций. Коэффициент Пуассона полагается равным 0,495.
Нас интересует значение макроскопического растягивающего напряжения, при котором вероятность появления когезионного разрушения в выбранном нами элементе композитного материала равна 0,5. В результате расчетов установлено следующее. В исследуемой ячейке разрывные макроскопические растягивающие напряжения оказываются на 49% больше, чем в аналогичном объеме чистого связующего. Это говорит о том, что ячейка более стойка к когезионному разрушению.

Повышение прочности эластомера в ячейке происходит несмотря на то, что композит представляет собой материал с концентраторами напряжений. В нем действуют два противоположно направленных механизма. С одной стороны, высокое значение напряжений в зазорах между волокнами понижает значение макроскопических нагрузок, при которых появляются когезионные разрывы. С другой, повышению когезионной прочности связующего способствуют: 1) существенное уменьшение объемов матрицы, противодействующих нагружению (объемов, где возможно появление разрушающих флуктуаций); 2) высокая скорость роста напряжений в перегруженных областях (что означает уменьшение интервала времени, на котором ожидается появление флуктуаций). Возможно, этим объясняется экспериментально наблюдаемая более высокая прочность некоторых композитов по сравнению с прочностью чистого эластомера без наполнителя (рис. 3).
• Понятия пространства и времени так oice существенно влияют на характеристики разрушения, как и величина действующих напряжений.

Рассматриваемый эффект тем ярче, чем выше наполнение композита твердой фазой (рис. 4). В этом случае уменьшаются зазоры между включениями, внешнему нагружению противодействуют очень малые объемы связующего, скорость роста в них напряжений становится очень высокой. Отметим еще одну интересную особенность. Вероятность появления когезионного повреждения в описанной ячейке периодичности композитного материала существенно зависит от всей истории нагружения. Пусть в нем происходит отслоение матрицы от частиц наполнителя в ситуации, когда вероятность адгезионного разрушения

становится равной 0,5. Символом ta обозначен момент отслоения матрицы от включения. Отношение величин Bk и Ba будем произвольно менять:

Вероятность когезионного разрушения определяем по формуле (11), которая принимает вид уравнения

Символом tk обозначен момент когезионного разрушения. Интегралы J1 и J2 задаются следующими равенствами:

Отличаются они только распределением нолей напряжений σk в матрице (обозначим их соответственно σk* и σk**). Интегрирование в формулах ведется по объему V связующего в ячейке периодичности композиционного материала. В первом интеграле поля напряжений соответствуют неотслоенной ситуации, во втором - ситуации, когда произошло отслоение. При этом считаем, что отслоение происходит сразу по всей поверхности частицы и связующее мгновенно начинает скользить по границе включения или отходить от него. Это допущение сделано исключительно в целях упрощения математической модели. Поскольку нас интересует иллюстрация новых качественных возможностей, задача поставлена так, чтобы исключить из рассмотрения проблему вычисления полей напряжений с сингулярной особенностью в окрестности резкой смены граничных условий.
Расчеты показывают, что в рассматриваемой ячейке композита (h/l = 0, 1) эффективные напряжения (при которых с вероятностью 0,5 происходит появление когезионного разрушения) существенно зависят от момента появления адгезионного отрыва матрицы от включения. Причем, в зависимости от соотношения параметров Bk/Ba, оно может изменяться в 6,6 раза. В материалах с более прочной адгезионной связью когезионный разрыв связующего наступает позже.
Таким образом, предложенный подход содержит в себе возможность объяснения хорошо известной из экспериментов связи между прочностью скрепления матрицы с включениями и особенностями когезионного разрыва связующего. В математическую модель не требуется для этого вводить дополнительное представление об упругих слоях вокруг включений с особыми свойствами.
• В рамках предлагаемого подхода вид абсолютно твердого наполнителя может влиять на особенности макроскопического разрушения композита.
Поясним это более подробно. С точки зрения обычных критериев прочности, разрыв матрицы должен происходить, когда в связующем будут достигнуты критические напряжения. Момент отрыва матрицы от включения в таком рассуждении не существен. Следовательно, не существенно и качество склейки с наполнителем. Лишь бы отслоение матрицы от включения происходило до когезионного разрушения связующего. Приведенный пример характеризует еще одну важную особенность предлагаемого нами подхода — в рамках его имеется связь между адгезионной и когезионной прочностью материала.
Рассматриваемые примеры показывают следующее. В границах используемой математической гипотезы факторы времени и пространства оказываются столь же существенными, как и фактор величины действующих напряжений. Это дает возможность учесть историю нагружения материала, скорость его деформирования и масштабный фактор при прогнозе вероятности появления единичного повреждения.