Твердые частицы

Интуитивно понятно, что добавление наполнителя в виде частиц высокой твердости должно увеличивать общий модуль материала. Величина этой возросшей жесткости в течение многих лет обсуждалась в литературе; в итоге было предложено несколько прогностических моделей для описания этого эффекта, о чем говорилось ранее.
В литературе имеются примеры сравнения экспериментальных данных и выводов различных моделей. В представлении своей модели Ишаи и Коэн сравнивали экспериментальные величины для модулей с предсказаниями своей модели и с болee широкими ограничениями, отвечающими анализу по Хашину и анализу по Полу. Экспериментальные данные превышали предсказанные ими величины по всему диапазону объемных концентраций; различие было больше при более высоких объемных долях. Подобным образом Янг с сотр. обнаружили, что измеренные величины модуля Юнга для эпоксидной смолы, наполненной стеклянными шариками, были близки к нижней границе, ожидаемой по модели Ишаи и Коэна три низких объемных долях шариков, но превышали верхнюю границу при высоком объемном содержании шариков.
Набор тщательно определенных экспериментальных данных для эпоксидной смолы, наполненной стеклянными шариками, имеется в литературе. Эти данные сравниваются с предсказаниями модели Ишаи и Коэна на рис. 19.1. Различия между экспериментальными значениями и предсказанными границами аналогичны таковым, опубликованным ранее. При низких объемных долях шариков экспериментально полученные величины лежат вблизи нижней границы; при самом высоком объемном содержании шариков экспериментальные величины превышают верхнюю границу. Общий ход кривой зависимости жесткости от объемной доли шариков не очень хорошо согласуется с границами.
Эти наблюдения указывают на необходимость более тщательного моделирования механических свойств мультифазных материалов. Такое моделирование требует использования численных методов. Подчеркнем следующее преимущество численного моделирования: в отличие от аналитических методов, численное моделирование позволяет получить полный набор упругих свойств для наполненного полимера, о чем говорилось ранее.
Численное моделирование механических свойств требует определения элементарной ячейки. Как показано далее, это определение может основываться на допущении регулярного или случайного распределения наполнителя. Термониа использовал метод конечных разностей для предсказания жесткости полимера, наполненного стеклом, в предположении регулярного распределения наполнителя. Автор обнаружил хорошее согласие между предсказанием и экспериментальными данными работы, показанными на рис. 19.1. В литературе имеется ряд примеров, в которых используется осесимметричное моделирование, основанное на элементарной ячейке, содержащей сферу или цилиндр из полимера. Результаты применения этой модели, в которой предполагается, что объемную долю можно рассчитать по зазорам между цилиндрами, заполненными матрицей, показали хорошее согласие с результатами трехмерного моделирования на основе предположения о кубическом массиве. Предположение о регулярном кубическом массиве позволяет, как было найдено, хорошо описать экспериментально наблюдаемую связь между жесткостью и включенной объемной долей керамических частиц, диспергированных в полиэтилене. С помощью этой модели также удается получить величины модуля сдвига, совпадающие с измеренными. Сравнение экспериментальных данных с величинами, предсказанными на основе допущения о регулярном кубическом массиве наполнителя, показано на рис. 19.2. Видно разумное согласие как для модуля Юнга, так и для модуля сдвига во всем диапазоне изменения объемной доли. Этот материал служит замещающим материалом для костной ткани; важно точно описать его упругие свойства, поскольку распределение напряжений внутри человеческого тела весьма сложное.

Альтернативой для вышеуказанных регулярных распределений может быть допущение о стохастическом распределении частиц наполнителя. Эта модель для материалов должна применяться в предположении сферической формы частиц; аналитический метод для элементарных ячеек такого типа был разработан Гилд и Кинлохом. Предсказанные величины модуля Юнга и коэффициента Пуассона для эпоксидной смолы, наполненной стеклянными шариками, сравниваются с измеренными величинами на рис. 19.3. Кроме того, такое сравнение ранее проводилось для цилиндрической элементарной ячейки; в последнем анализе было получено хорошее согласие между измеренными и расчетными величинами модуля Юнга, а для коэффициента Пуассона было достигнуто удовлетворительное согласие. Результаты, представленные на рис. 19.3, свидетельствуют, что величины модуля Юнга, рассчитанные по модели сферической элементарной ячейки, занижены относительно экспериментальных величин, в особенности при высокой объемной доле частиц, но согласие измеренных и предсказанных величин коэффициента Пуассона удовлетворительное. Заниженный модуль Юнга может быть результатом отсутствия направленности в моделях взаимодействия; такой эффект был выявлен при моделировании полиэтилена, наполненного керамикой. Улучшение согласия для величин коэффициента Пуассона может быть отражением сильной зависимости этого свойства от формы элементарной ячейки.