Неравенство Фридрихса

Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная Куртом Фридрихсом. Оно указывает границу для Lp-нормы функции, используя Lp границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева.

Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства Rn с диаметром d. Предположим, что u : Ω → R принадлежит пространству Соболева W 0 k , p ( Ω ) {displaystyle W_{0}^{k,p}(Omega )} (то есть u ∈ W k , p ( Ω ) {displaystyle uin W^{k,p}(Omega )} и tr u = 0). Тогда

‖ u ‖ L p ( Ω ) ≤ d k ( ∑ | α | = k ‖ D α u ‖ L p ( Ω ) p ) 1 / p , {displaystyle |u|_{L^{p}(Omega )}leq d^{k}left(sum _{|alpha |=k}|mathrm {D} ^{alpha }u|_{L^{p}(Omega )}^{p} ight)^{1/p},}

где

• ‖ − ‖ L p ( Ω ) {displaystyle |-|_{L^{p}(Omega )}} обозначает Lp-норму;
• α = (α1, …, αn) — мультииндекс с нормой |α| = α1 + … + αn;
• Dαu — смешанная частная производная

D α u = ∂ | α | u ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n . {displaystyle mathrm {D} ^{alpha }u={frac {partial ^{|alpha |}u}{partial _{x_{1}}^{alpha _{1}}cdots partial _{x_{n}}^{alpha _{n}}}}.}

Близким результатом является неравенство Пуанкаре.