Ковариантная производная

04.02.2021

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля T {displaystyle T} в направлении касательного вектора v {displaystyle {mathbf {v} }} обычно обозначается ∇ v T {displaystyle abla _{mathbf {v} }T} .

Мотивация

Понятие ковариантной производной позволяет определить дифференцирование тензорных полей по направлению касательного вектора какого-либо многообразия. Подобно производной по направлению, ковариантная производная ∇ u v {displaystyle abla _{mathbf {u} }{mathbf {v} }} в качестве аргументов принимает: (1) вектор u {displaystyle mathbf {u} } , определённый в некой точке P {displaystyle P} , и (2) векторное поле v {displaystyle mathbf {v} } , определённое в окрестности P {displaystyle P} . Результатом является вектор ∇ u v ( P ) {displaystyle abla _{mathbf {u} }{mathbf {v} }left(P ight)} , также определённый в P {displaystyle P} . Основное отличие от производной по направлению заключается в том, что ∇ u v {displaystyle abla _{mathbf {u} }{mathbf {v} }} не должна зависеть от выбора системы координат.

Любой вектор может быть представлен как набор чисел, который зависит от выбора базиса. Вектор как геометрический объект не меняется при смене базиса, в то время как компоненты его координатного представления меняются согласно ковариантному преобразованию, зависящему от преобразования базиса. Ковариантная производная должна подчиняться этому же ковариантному преобразованию.

В случае евклидова пространства производная векторного поля зачастую определяется как предел разности двух векторов, определённых в двух близлежащих точках. В этом случае один из векторов можно переместить в начало другого вектора при помощи параллельного переноса, и затем произвести вычитание. Таким образом, простейшим примером ковариантной производной является покомпонентное дифференцирование в ортонормированной системе координат.

В общем же случае необходимо учесть изменение базисных векторов при параллельном переносе. Пример: ковариантная производная, записанная в полярных координатах двухмерного евклидова пространства, содержит дополнительные слагаемые, которые описывают «вращение» самой системы координат при параллельном переносе. В других случаях формула ковариантной производной может включать в себя члены, соответствующие сжатию, растяжению, кручению, переплетению и прочим преобразованиям, которым подвержена произвольная криволинейная система координат.

В качестве примера рассмотрим кривую γ ( t ) {displaystyle gamma (t)} , определённую на евклидовой плоскости. В полярных координатах кривая может быть выражена через полярные угол и радиус γ ( t ) = ( r ( t ) , θ ( t ) ) {displaystyle gamma (t)=(r(t), heta (t))} . В произвольный момент времени t {displaystyle t} радиус-вектор может быть представлен через пару ( e r , e θ ) {displaystyle ({mathbf {e} }_{r},{mathbf {e} }_{ heta })} , где e r {displaystyle {mathbf {e} }_{r}} и e θ {displaystyle {mathbf {e} }_{ heta }} — единичные вектора, касательные к полярной системе координат, которые образуют базис, служащий для разложения вектора на радиальную и касательную компоненты. При изменении параметра t {displaystyle t} возникает новый базис, который есть не что иное, как старый базис, подвергнутый вращению. Данное преобразование выражается как ковариантная производная базисных векторов, также известное как Символы Кристоффеля.

В криволинейном пространстве, каковым является, к примеру, поверхность Земли, не определён однозначный параллельный перенос. Вместо этого определена операция параллельного перенесения вектора из одной точки в другую, которая зависит от выбора траектории. Действительно, представим вектор e {displaystyle {mathbf {e} }} , определённый в точке Q {displaystyle Q} (которая лежит на экваторе), и направленный к северному полюсу. Используя параллельное перенесение, сперва переместим вектор вдоль экватора, не меняя его направления, затем поднимем e {displaystyle {mathbf {e} }} вдоль какого-либо меридиана к северному полюсу, и опустим обратно к экватору вдоль другого меридиана. Очевидно, что такое перемещение вектора вдоль замкнутого пути на сфере изменит его ориентацию. Подобный феномен вызван кривизной поверхности глобуса и не наблюдается в евклидовом пространстве. Он возникает на многообразиях при перемещении вектора вдоль любого (даже бесконечно малого) замкнутого контура, включающего в себя движение вдоль как минимум двух различных направлений. В таком случае предел инфинитезимального приращения вектора является мерой кривизны многообразия.

Замечания

  • Определение ковариантной производной не использует понятие метрики. При этом, для любого выбора метрики пространства существует единственная свободная от кручения ковариантная производная, называемая связностью Леви-Чивиты. Она определяется через условие: ковариантная производная от метрического тензора равна нулю.
  • Свойства производной подразумевают, что ∇ v u {displaystyle abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} зависит от произвольно малой окрестности точки P {displaystyle P} так же, как, к примеру, производная скалярной функции вдоль кривой в данной точке P {displaystyle P} зависит от бесконечно малой окрестности этой точки.
  • Информация, содержащаяся в окрестности точки P {displaystyle P} , может быть использована для определения параллельного перенесения вектора. Так же, понятия кривизны, кручения, и геодезических линий могут быть введены используя только концепцию ковариантной производной и её обобщения, такие как линейная связность.

Формальное определение

Скалярные функции

Для скалярной функции f {displaystyle f} ковариантная производная ∇ v f {displaystyle { abla }_{mathbf {v} }f} совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля v {displaystyle mathbf {v} } .

Векторные поля

Ковариантная производная ∇ {displaystyle abla } векторного поля u {displaystyle {mathbf {u} }} по направлению векторного поля v {displaystyle {mathbf {v} }} , обозначаемая ∇ v u {displaystyle abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} определяется по следующим свойствам, для любого вектора v {displaystyle mathbf {v} } , векторных полей u {displaystyle mathbf {u} } , w {displaystyle mathbf {w} } и скалярных функций f {displaystyle f} и g {displaystyle g} :

  • ∇ v u {displaystyle abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} линейно по отношению к v {displaystyle {mathbf {v} }} , то есть ∇ f v + g w u = f ∇ v u + g ∇ w u {displaystyle abla _{f{mathbf {v} }+g{mathbf {w} }}{mathbf {u} }=f abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+g abla _{mathbf {w} }{mathbf {u} }}
  • ∇ v u {displaystyle abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} аддитивно относительно u {displaystyle {mathbf {u} }} , то есть ∇ v ( u + w ) = ∇ v u + ∇ v w {displaystyle abla _{mathbf {v} }({mathbf {u} }+{mathbf {w} })= abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+ abla _{mathbf {v} }{mathbf {w} }}
  • ∇ v u {displaystyle abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} подчиняется правилу произведения, то есть ∇ v f u = f ∇ v u + u ∇ v f {displaystyle abla _{mathbf {v} }f{mathbf {u} }=f abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+{mathbf {u} } abla _{mathbf {v} }f} , где ∇ v f {displaystyle abla _{mathbf {v} }f} определено выше.
  • Замечание

    Заметим, что ∇ v u {displaystyle abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} в точке p {displaystyle p} зависит только от значения v {displaystyle mathbf {v} } в точке p {displaystyle p} и от значений u {displaystyle mathbf {u} } в её окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).

    Ковекторные поля

    Если задано поле ковекторов (то есть один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) α {displaystyle alpha } , его ковариантная производная ∇ v α {displaystyle abla _{mathbf {v} }alpha } может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей u {displaystyle mathbf {u} }

    ∇ v ( α ( u ) ) = ( ∇ v α ) ( u ) + α ( ∇ v u ) . {displaystyle abla _{mathbf {v} }(alpha ({mathbf {u} }))=( abla _{mathbf {v} }alpha )({mathbf {u} })+alpha ( abla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }).}

    Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля v {displaystyle mathbf {v} } — тоже ковекторное поле.

    Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.

    Тензорные поля

    Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, её легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница ( φ {displaystyle varphi } и ψ {displaystyle {psi }} — произвольные тензоры):

    ∇ v ( φ ⊗ ψ ) = ( ∇ v φ ) ⊗ ψ + φ ⊗ ( ∇ v ψ ) , {displaystyle abla _{mathbf {v} }(varphi otimes psi )=( abla _{mathbf {v} }varphi )otimes psi +varphi otimes ( abla _{mathbf {v} }psi ),}

    Если φ {displaystyle varphi } и ψ {displaystyle psi } — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

    ∇ v ( φ + ψ ) = ∇ v φ + ∇ v ψ . {displaystyle abla _{mathbf {v} }(varphi +psi )= abla _{mathbf {v} }varphi + abla _{mathbf {v} }psi .}

    Выражение в координатах

    Пусть тензорное поле типа ( p , q ) {displaystyle (p,q)} задано своими компонентами T i 1 i 2 … i p j 1 j 2 … j q ( x ) {displaystyle {T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}(mathbf {x} )} в некоторой локальной системе координат x k {displaystyle x^{k}} , причём компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа ( p , q + 1 ) {displaystyle (p,q+1)} , который определяется по формуле:

    ∇ ℓ T i 1 i 2 … i p j 1 j 2 … j q = ∂ T i 1 i 2 … i p j 1 j 2 … j q ∂ x ℓ + ∑ k = 1 p T i 1 … k … i p j 1 j 2 … j q Γ i k ℓ k − ∑ m = 1 q T i 1 i 2 … i p j 1 … m … j q Γ m ℓ j m {displaystyle abla _{ell }{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}={frac {partial {T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}}{partial x^{ell }}}+sum _{k=1}^{p}{T^{i_{1}ldots kldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}Gamma ^{i_{k}}{}_{ell k}-sum _{m=1}^{q}{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}ldots mldots j_{q}}Gamma ^{m}{}_{ell j_{m}}}

    где Γ k i j {displaystyle Gamma ^{k}{}_{ij}} — символы Кристоффеля, выражающие связность искривлённого многообразия.

    Примеры для некоторых типов тензорных полей

    Ковариантная производная векторного поля V m   {displaystyle V^{m} } имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

    ∇ ℓ V m = ∂ V m ∂ x ℓ + Γ m k ℓ V k .   {displaystyle abla _{ell }V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{m}{}_{kell }V^{k}. }

    Ковариантная производная скалярного поля φ   {displaystyle varphi } совпадает с частной производной,

    ∇ i φ = ∂ φ ∂ x i   {displaystyle abla _{i}varphi ={frac {partial varphi }{partial x^{i}}} }

    а ковариантная производная ковекторного поля ω m   {displaystyle omega _{m} } —

    ∇ ℓ ω m = ∂ ω m ∂ x ℓ − Γ k ℓ m ω k .   {displaystyle abla _{ell }omega _{m}={frac {partial omega _{m}}{partial x^{ell }}}-Gamma ^{k}{}_{ell m}omega _{k}. }

    Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

    ∇ i ∇ j φ = ∇ j ∇ i φ   {displaystyle abla _{i} abla _{j}varphi = abla _{j} abla _{i}varphi }

    В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

    Ковариантная производная тензорного поля типа ( 2 , 0 ) {displaystyle (2,0)} A i k   {displaystyle A^{ik} } равна

    ∇ ℓ A i k = ∂ A i k ∂ x ℓ + Γ i m ℓ A m k + Γ k m ℓ A i m ,   {displaystyle abla _{ell }A^{ik}={frac {partial A^{ik}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{i}{}_{mell }A^{mk}+Gamma ^{k}{}_{mell }A^{im}, }

    то есть

    A i k ; ℓ = A i k , ℓ + A m k Γ i m ℓ + A i m Γ k m ℓ .   {displaystyle A^{ik}{}_{;ell }=A^{ik}{}_{,ell }+A^{mk}Gamma ^{i}{}_{mell }+A^{im}Gamma ^{k}{}_{mell }. }

    Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

    A i k ; ℓ = A i k , ℓ + A m k Γ i m ℓ − A i m Γ m k ℓ ,   {displaystyle A^{i}{}_{k;ell }=A^{i}{}_{k,ell }+A^{m}{}_{k}Gamma ^{i}{}_{mell }-A^{i}{}_{m}Gamma ^{m}{}_{kell }, }

    наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа ( 0 , 2 ) {displaystyle (0,2)} ,

    A i k ; ℓ = A i k , ℓ − A m k Γ m i ℓ − A i m Γ m k ℓ .   {displaystyle A_{ik;ell }=A_{ik,ell }-A_{mk}Gamma ^{m}{}_{iell }-A_{im}Gamma ^{m}{}_{kell }. }