Экономика обмена

Экономика обмена — упрощенная формализованная микроэкономическая модель общего равновесия в экономике без производства. Экономика обмена характеризуется множеством потребителей, множествами их допустимых потребительских наборов, их предпочтениями и начальными запасами экономических благ. Экономики с производством благ рассматривается в модели Эрроу-Дебрё.

Описание модели

Пусть I = { 1 , . . , n } {displaystyle I={1,..,n}} — множество потребителей, X i {displaystyle X_{i}} — множества допустимых потребительских наборов x i {displaystyle x_{i}} , где i ∈ I {displaystyle iin I} . Потребительские наборы представляют собой k {displaystyle k} -мерные векторы, где k {displaystyle k} — количество благ в экономике. Обычно предполагается, что X i ⊂ R + k {displaystyle X_{i}subset R_{+}^{k}} .

В экономике обмена у потребителей имеются некоторые начальные запасы x i 0 {displaystyle x_{i}^{0}} . В результате обмена между потребителями их потребительские наборы меняются. Экономика предполагается замкнутой и без производства, поэтому сумма потребительских наборов после обмена не может превышать сумму первоначальных запасов. В простейшем случае предполагается их равенство:

∑ i x i = ∑ i x i 0 {displaystyle sum _{i}x_{i}=sum _{i}x_{i}^{0}}

Обмен осуществляется по некоторым ценам (одинаковым для всех сделок всех потребителей). Обозначим вектор цен p {displaystyle p} . Бюджетные множества B i ( p , x i 0 ) {displaystyle B_{i}(p,x_{i}^{0})} потребителей представляют допустимые наборы x i ∈ X i {displaystyle x_{i}in X_{i}} , удовлетворяющие следующим бюджетным ограничением:

p x i ⩽ p x i 0 = R i {displaystyle px_{i}leqslant px_{i}^{0}=R_{i}}

где R i {displaystyle R_{i}} — «доход» от (потенциальной) продажи начальных запасов.

Далее предполагается, что потребители совершают обменные операции исходя из своих предпочтений, а именно они выбирают те наборы x ¯ i {displaystyle {overline {x}}_{i}} из B i {displaystyle B_{i}} , чтобы любые лучшие (в смысле их предпочтений) допустимые наборы не принадлежали бюджетному множеству, то есть:

∀ x i ∈ X i , x i ≻ x ¯ i => x i ∉ B i {displaystyle forall x_{i}in X_{i},x_{i}succ {overline {x}}_{i}=>x_{i} otin B_{i}}

Если предпочтения описываются функцией полезности, то это формулируется как стандартная задача потребителя по максимизации полезности на бюджетном множестве:

{ u i ( x i ) → max x i x i ∈ B i ( p , R i ) {displaystyle {egin{cases}u_{i}(x_{i}) ightarrow max _{x_{i}}x_{i}in B_{i}(p,R_{i})end{cases}}}

При любом векторе цен p {displaystyle p} выполнен так называемый закон Вальраса, который в данном случае можно записать как

∑ i R i = p ∑ i x i {displaystyle sum _{i}R_{i}=psum _{i}x_{i}}

Непосредственно отсюда следует, что если хотя бы для одного потребителя бюджетное ограничение будет строгим p x i < R i {displaystyle px_{i}<R_{i}} , то должен найтись хотя бы один потребитель для которого бюджетное ограничение нарушается, что недопустимо. Таким образом, фактически бюджетные ограничения всех потребителей будут выполнены со знаком равенства:

p x i = R i {displaystyle px_{i}=R_{i}}

Решения задач потребителей позволяют определить функции (отображения) спроса x i ( p ) = x i ( p , R i ) = x i ( p , p x i 0 ) {displaystyle x_{i}(p)=x_{i}(p,R_{i})=x_{i}(p,px_{i}^{0})} . Функция (отображение) E ( p ) = ∑ i ( x i ( p ) − x i 0 ) {displaystyle E(p)=sum _{i}(x_{i}(p)-x_{i}^{0})} называется функцией избыточного спроса в экономике обмена. Закон Вальраса через функцию избыточного спроса формулируется как

p E ( p ) = 0 {displaystyle pE(p)=0}

Равновесие в экономике обмена

Равновесием по Вальрасу в экономике обмена называется равновесный вектор цен p ¯ {displaystyle {overline {p}}} и совокупность потребительских наборов x ¯ i {displaystyle {overline {x}}_{i}} , таких, что каждый вектор x ¯ i {displaystyle {overline {x}}_{i}} является решением задачи i-го потребителя при ценах p ¯ {displaystyle {overline {p}}} и доходе R i = p ¯ x i 0 {displaystyle R_{i}={overline {p}}x_{i}^{0}} , причем выполнено тождество ∑ i x ¯ i = ∑ i x i 0 {displaystyle sum _{i}{overline {x}}_{i}=sum _{i}x_{i}^{0}} .

Можно показать, что если множество допустимых потребительских наборов включает в себя только неотрицательные наборы, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, начальные запасы всех потребителей строго положительны и существует хотя бы один потребитель с монотонными предпочтениями, то существует равновесие в экономике обмена с некоторым положительным вектором равновесных цен. Требование положительности запасов всех потребителей можно ослабить до положительности суммарных запасов, если дополнительно предположить, что предпочтения всех потребителей (а не только хотя бы одного) монотонны.