Координатное пространство

05.03.2021

Все физические явления могут быть описаны в разных пространствах: координатном, импульсном, фазовом и др. Описания математически эквивалентны, однако различаются сложностью и интуитивностью описания. В большинстве случаев, координатное пространство является интуитивно понятным и наиболее лёгким для понимания процесса, в нём протекающего, однако, в физике твёрдого тела в общем случае удобнее использовать импульсное описание.

Определение

Назовём n {displaystyle n} -мерным вектором совокупность из n {displaystyle n} чисел поля P , {displaystyle P,} эти числа — координатами вектора r → = r → ( r 1 , r 2 , … , r n ) . {displaystyle {vec {r}}={vec {r}}(r_{1},r_{2},ldots ,r_{n}).} Для определённости говорят, что данный вектор r → {displaystyle {vec {r}}} является радиус-вектором, хотя это не обязательно.

Множество n {displaystyle n} -мерных векторов, для которых определены операции:

  • a → = b → ↔ { a 1 = b 1 a 2 = b 2 … a n = b n {displaystyle {vec {a}}={vec {b}};leftrightarrow ;left{{egin{matrix}a_{1}=b_{1}a_{2}=b_{2}ldots a_{n}=b_{n}end{matrix}} ight.}
  • a → + b → = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ) {displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}=(a_{1}+b_{1},;a_{2}+b_{2},ldots ,a_{n}+b_{n})}
  • λ ⋅ a → = ( λ ⋅ a 1 , λ ⋅ a 2 , … , λ ⋅ a n ) {displaystyle lambda cdot {vec {a}}=(lambda cdot a_{1},;lambda cdot a_{2},ldots ,lambda cdot a_{n})}

называют n {displaystyle n} -мерным арифметическим пространством или n {displaystyle n} -мерным координатным пространством P n {displaystyle P^{n}} .

Свойства

Пусть ∃ 0 → = ( 0 , 0 , … , 0 ) , a → = ( a 1 , a 2 , … , a n ) , λ ∈ R , μ ∈ R {displaystyle exists {vec {0}}=(0,0,ldots ,0),{vec {a}}=(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}),lambda in mathbb {R} ,mu in mathbb {R} }

  • Ассоциативность:
( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) {displaystyle ({vec {a}}+{vec {b}})+{vec {c}}={vec {a}}+({vec {b}}+{vec {c}})}
  • Коммутативность:
a → + b → = b → + a → {displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}={vec {b}}+{vec {a}}}
  • Единственность решения уравнения:
∀ a → , b → ∃ ! x → ∈ P n : a → + x → = b → {displaystyle forall {vec {a}},{vec {b}};exists !;{vec {x}}in P^{n};:;{vec {a}}+{vec {x}}={vec {b}}}
  • Существование нейтрального элемента:
∀ a → : a → + 0 → = a → {displaystyle forall {vec {a}};:;{vec {a}}+{vec {0}}={vec {a}}}
  • Существование противоположного вектора:
∀ a → ∃ b → ( b 1 = − a 1 , b 2 = − a 2 , … , b n = − a n ) : a → + b → = 0 → {displaystyle forall {vec {a}};exists {vec {b}}(b_{1}=-a_{1},;b_{2}=-a_{2},ldots ,b_{n}=-a_{n});:;{vec {a}}+{vec {b}}={vec {0}}}
  • Ассоциативность скалярного умножения:
∀ λ , μ ∈ R : λ ⋅ ( μ ⋅ a → ) = ( λ ⋅ μ ) ⋅ a → {displaystyle forall lambda ,mu in mathbb {R} ;:;lambda cdot (mu cdot {vec {a}})=(lambda cdot mu )cdot {vec {a}}}
  • Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:
( λ + μ ) ⋅ a → = λ ⋅ a → + μ ⋅ a → {displaystyle (lambda +mu )cdot {vec {a}}=lambda cdot {vec {a}}+mu cdot {vec {a}}}
  • Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов:
λ ( a → + b → ) = λ ⋅ a → + λ ⋅ b → {displaystyle lambda ({vec {a}}+{vec {b}})=lambda cdot {vec {a}}+lambda cdot {vec {b}}}
  • Существование базис-векторов:
Пусть { v 1 → = v 1 → ( 1 , 0 , … , 0 ) v 2 → = v 2 → ( 0 , 1 , … , 0 ) ⋮ v n → = v n → ( 0 , 0 , … , 1 ) {displaystyle left{{egin{matrix}{vec {v_{1}}}={vec {v_{1}}}(1,0,ldots ,0){vec {v_{2}}}={vec {v_{2}}}(0,1,ldots ,0)vdots {vec {v_{n}}}={vec {v_{n}}}(0,0,ldots ,1)end{matrix}} ight.} Тогда
  • Эти векторы линейно независимы
  • Любой вектор v → = v → ( v 1 , v 2 , … , v n ) {displaystyle {vec {v}}={vec {v}}(v_{1},v_{2},ldots ,v_{n})} можно представить как v → = v 1 ⋅ v 1 → + v 2 ⋅ v 2 → + … + v n ⋅ v n → {displaystyle {vec {v}}=v_{1}cdot {vec {v_{1}}}+v_{2}cdot {vec {v_{2}}}+ldots +v_{n}cdot {vec {v_{n}}}}

Операторы в координатном пространстве

Все операторы могут быть обобщены на n {displaystyle n} -мерный случай, однако для простоты в этом разделе будут рассматриваться только трёхмерные случаи.

  • Лапласиан:
Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {displaystyle Delta ={partial ^{2} over partial x^{2}}+{partial ^{2} over partial y^{2}}+{partial ^{2} over partial z^{2}}}
  • Набла:
∇ = ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k → {displaystyle abla ={partial over partial x}{vec {i}}+{partial over partial y}{vec {j}}+{partial over partial z}{vec {k}}}
  • Векторный оператор Лапласа:
Δ → A → = ∇ ( ∇ ⋅ A → ) − ∇ × ( ∇ × A → ) {displaystyle {vec {Delta }}{vec {A}}= abla ( abla cdot {vec {A}})- abla imes ( abla imes {vec {A}})}
  • Оператор импульса:
p ^ = − i ℏ ∇ {displaystyle mathbf {hat {p}} =-ihbar abla }