Разложение Шмидта

05.03.2021

Разложение Шмидта — определённого типа выражение для вектора в тензорном произведении двух гильбертовых пространств. По сути является переформулировкой сингулярного разложения для матриц.

Имеет многочисленные приложения в квантовой теории информации, например в запутанности. Hазванo в честь Эрхардa Шмидтa.

Формулировка

Пусть H 1 {displaystyle H_{1}} и H 2 {displaystyle H_{2}} — гильбертовы пространства от размерностей m {displaystyle m} и n {displaystyle n} соответственно. Предположим m ≥ n {displaystyle mgeq n} . Тогда для любого вектора w {displaystyle w} в тензорном произведении H 1 ⊗ H 2 {displaystyle H_{1}otimes H_{2}} существует ортонормированные наборы векторов { u 1 , … , u n } ⊂ H 1 {displaystyle {u_{1},ldots ,u_{n}}subset H_{1}} и { v 1 , … , v n } ⊂ H 2 {displaystyle {v_{1},ldots ,v_{n}}subset H_{2}} такие, что

w = ∑ i = 1 n α i u i ⊗ v i , {displaystyle w=sum _{i=1}^{n}alpha _{i}u_{i}otimes v_{i},}

где α i {displaystyle alpha _{i}} вещественные неотрицательные числа. Более того, мультимножество { α 1 , … , α n } {displaystyle {alpha _{1},dots ,alpha _{n}}} , однозначно определяется w {displaystyle w} .

Замечания

  • Наборы векторов { u 1 , … , u n } ⊂ H 1 {displaystyle {u_{1},ldots ,u_{n}}subset H_{1}} и { v 1 , … , v n } ⊂ H 2 {displaystyle {v_{1},ldots ,v_{n}}subset H_{2}} называются базисами Шмидта для w {displaystyle w} .
  • Числа { α 1 , … , α n } {displaystyle {alpha _{1},dots ,alpha _{n}}} называются коэффициентами Шмидта для w {displaystyle w} .