Формула Шлефли

06.03.2021

Формула Шлефли — соотношение на производные двугранных углов и длины рёбер семейства многогранников. Предложена Людвигом Шлефли.

Формула

Пусть P ( t ) {displaystyle P(t)} есть гладкое однопараметрическое семейство многогранников в евклидовом пространстве. Обозначим через θ i = θ i ( t ) {displaystyle heta _{i}= heta _{i}(t)} и ℓ i = ℓ i ( t ) {displaystyle ell _{i}=ell _{i}(t)} двугранные углы и длины рёбер P ( t ) {displaystyle P(t)} . Тогда

∑ i ℓ i d θ i d t = 0 {displaystyle sum _{i}ell _{i}{frac {d heta _{i}}{dt}}=0}

Вариации и обобщения

Формула имеет естественные обобщения на случай многомерных евклидовых пространств и пространств постоянной кривизны.