Ограниченные неполные частные

06.03.2021

В математике про вещественное число говорят, что оно имеет ограниченные неполные частные если при его разложении в цепную дробь неполные частные не принимают сколь угодно больших значений.

Свойства

  • любая периодическая цепная дробь имеет ограниченные неполные частные;
  • если x {displaystyle x} имеет ограниченные неполные частные, то в двоичном представлении значения функции Минковского в точке x {displaystyle x} расстояние между соседними единицами ограничено (в этом контексте множество таких чисел можно понимать как широкое обобщение идеи построения множества Кантора).

Гипотеза Зарембы

Разложение рационального числа в цепную дробь всегда конечно, так что все его неполные частные ограничены максимальным из них. Поэтому особый интерес представляет вопрос, можно ли наложить единые ограничения на неполные частные большинства раицональных чисел. Его поставил Станислав Заремба в 1972 году.

Бургейн и Конторович доказали гипотезу для множества чисел q {displaystyle q} плотности 1. Для малых значений константы c {displaystyle c} и отдельных множеств допустимых значений a i {displaystyle a_{i}} изучаются менее сильные нижние оценки на распределения таких q {displaystyle q} .