Тождество параллелограмма

06.03.2021

Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

В Евклидовой геометрии

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

  ( A B ) 2 + ( B C ) 2 + ( C D ) 2 + ( D A ) 2 = ( A C ) 2 + ( B D ) 2 . {displaystyle (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.}

В пространствах со скалярным произведением

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так:

  2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 = ‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 {displaystyle 2|x|^{2}+2|y|^{2}=|x+y|^{2}+|x-y|^{2}}

где

  ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ . {displaystyle |x|^{2}=langle x,x angle .}

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)

В нормированном пространстве (V, ‖ ⋅ ‖ {displaystyle |cdot |} ), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение ⟨ x ,   y ⟩ {displaystyle langle x, y angle } , порождающее эту норму, то есть такое что ‖ x ‖ 2 = ⟨ x ,   x ⟩ {displaystyle |x|^{2}=langle x, x angle } всех векторов x {displaystyle x} пространства V {displaystyle V} . Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану. Это можно сделать следующем способом:

  • для действительного пространства ⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 , {displaystyle langle x,y angle ={|x+y|^{2}-|x-y|^{2} over 4},} или ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 2 , {displaystyle {|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2} over 2},} или ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 2 . {displaystyle {|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2} over 2}.}
  • для комплексного пространства ⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 + i ‖ i x + y ‖ 2 − ‖ i x − y ‖ 2 4 . {displaystyle langle x,y angle ={|x+y|^{2}-|x-y|^{2} over 4}+i{|ix+y|^{2}-|ix-y|^{2} over 4}.}

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом   ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ {displaystyle |x|^{2}=langle x,x angle } , будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

Обобщение

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

  Q ( v ) = B ( v , v ) {displaystyle Q(v)=B(v,v)} ,

тогда

4 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u − v ) , 2 B ( u , v ) = Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) , 2 B ( u , v ) = Q ( u ) + Q ( v ) − Q ( u − v ) . {displaystyle {egin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).end{array}}}