Дизъюнктное объединение

06.03.2021

Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из a {displaystyle a} и b {displaystyle b} элементов, будет содержать ровно a + b {displaystyle a+b} элементов, даже если сами множества пересекаются.

Определение

Пусть { A i | i ∈ I } {displaystyle {A_{i}|iin I}} — семейство множеств, перечисленных индексами из I {displaystyle I} . Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

⨆ i ∈ I A i = ⋃ i ∈ I { ( x , i ) | x ∈ A i } {displaystyle igsqcup _{iin I}A_{i}=igcup _{iin I}{(x,i)|xin A_{i}}}

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами ( x , i ) {displaystyle (x,i)} . Таким образом i {displaystyle i} есть индекс, показывающий, из какого множества A i {displaystyle A_{i}} элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств A i {displaystyle A_{i}} канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

A i ∗ = { ( x , i ) | x ∈ A i } . {displaystyle A_{i}^{*}={(x,i)|xin A_{i}}.}

При ∀ i , j ∈ I : i ≠ j {displaystyle forall i,jin I:i eq j} множества A i ∗ {displaystyle A_{i}^{*}} и A j ∗ {displaystyle A_{j}^{*}} не имеют общих элементов, даже если A i ∩ A j ≠ ∅ {displaystyle A_{i}cap A_{j} eq varnothing } . В вырожденном случае, когда множества A i ∀ i ∈ I {displaystyle A_{i}forall iin I} равны какому-то конкретному A {displaystyle A} , дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества A {displaystyle A} и множества I {displaystyle I} , то есть

⨆ i ∈ I A i = A × I . {displaystyle igsqcup _{iin I}A_{i}=A imes I.}

Использование

Иногда можно встретить обозначение A + B {displaystyle A+B} для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

∑ i ∈ I A i . {displaystyle sum _{iin I}A_{i}.}

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если C {displaystyle C} — это семейство множеств, то

⋃ A ∈ C A {displaystyle igcup _{Ain C}A}

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых A {displaystyle A} и B {displaystyle B} из C {displaystyle C} выполняется следующее условие:

A ≠ B ⟹ A ∩ B = ∅ . {displaystyle A eq Bimplies Acap B=varnothing .}

Вариации и обобщения

  • Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств.