Теорема Таубера

Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана А. Таубером в 1897 году. Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами (Теорема Абеля — Таубера).

Формулировка

Если a n = o ( 1 n ) {displaystyle a_{n}=oleft({frac {1}{n}} ight)} при n → ∞ {displaystyle n o infty } , и lim x → 1 − 0 ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) = s {displaystyle lim limits _{x o 1-0}left(sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n} ight)=s} , то ряд ∑ n = 0 ∞ a n {displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}} сходится, причём к сумме s {displaystyle s} .

Пояснения

Здесь равенство f ( x ) = o ( φ ( x ) ) {displaystyle f(x)=o(varphi (x))} означает, что f ( x ) φ ( x ) → 0 {displaystyle {frac {f(x)}{varphi (x)}} ightarrow 0} , когда x {displaystyle x} стремится к заданному пределу (см. О-нотация).

Доказательство

Достаточно доказать, что при N = [ 1 ( 1 − x ) ] {displaystyle N=left[{frac {1}{(1-x)}} ight]} и x → 1 − 0 {displaystyle x ightarrow 1-0} выполняется

∑ n = 0 ∞ a n x n − ∑ n = 0 N a n → 0 {displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}-sum _{n=0}^{N}a_{n} ightarrow 0} .

то есть

∑ n = N + 1 ∞ a n x n − ∑ n = 0 N a n ( 1 − x n ) → 0 {displaystyle sum _{n=N+1}^{infty }a_{n}x^{n}-sum _{n=0}^{N}a_{n}(1-x^{n}) ightarrow 0} .

Обозначим:

S 1 = ∑ n = N + 1 ∞ a n x n {displaystyle S_{1}=sum _{n=N+1}^{infty }a_{n}x^{n}} , S 2 = ∑ n = 0 N a n ( 1 − x n ) {displaystyle S_{2}=sum _{n=0}^{N}a_{n}(1-x^{n})} .

Очевидно:

| S 1 | = | ∑ n = N + 1 ∞ n a n x n n | < ϵ N + 1 ∑ n = N + 1 ∞ x n < ϵ ( N + 1 ) ( 1 − x ) < ϵ {displaystyle left|S_{1} ight|=left|sum _{n=N+1}^{infty }na_{n}{frac {x^{n}}{n}} ight|<{frac {epsilon }{N+1}}sum _{n=N+1}^{infty }x^{n}<{frac {epsilon }{(N+1)(1-x)}}<epsilon } .

Вследствие того, что

1 − x n = ( 1 − x ) ( 1 + x + . . . + x n − 1 ) < n ( 1 − x ) {displaystyle 1-x^{n}=(1-x)(1+x+...+x^{n-1})<n(1-x)}

вытекает:

| S 2 | < ( 1 − x ) ∑ n = 0 N n | a n | ⩽ 1 N ∑ n = 0 N n | a n | {displaystyle left|S_{2} ight|<(1-x)sum _{n=0}^{N}nleft|a_{n} ight|leqslant {frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N}nleft|a_{n} ight|} .

В силу леммы правая часть стремится к нулю, так что и | S 2 | < ϵ {displaystyle left|S_{2} ight|<epsilon } , при достаточно больших N {displaystyle N} , получаем | S 1 − S 2 | < 2 ϵ {displaystyle left|S_{1}-S_{2} ight|<2epsilon } . Доказательство теоремы завершено.

Лемма

Если b n → 0 {displaystyle b_{n} ightarrow 0} при n → ∞ {displaystyle n ightarrow infty } , то b 0 + b 1 + . . . + b n n + 1 → 0 {displaystyle {frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1}} ightarrow 0} .

Всегда можно найти такие числа K {displaystyle K} , ϵ {displaystyle epsilon } , n 0 {displaystyle n_{0}} , что | b n | < K {displaystyle left|b_{n} ight|<K} при всех n {displaystyle n} и | b n | < ϵ {displaystyle left|b_{n} ight|<epsilon } при n > n 0 {displaystyle n>n_{0}} .

Возьмем n > n 0 {displaystyle n>n_{0}} и n > ( n 0 + 1 ) K ϵ {displaystyle n>(n_{0}+1){frac {K}{epsilon }}} .

Имеем:

| b 0 + b 1 + . . . + b n n + 1 | ⩽ | b 0 + b 1 + . . . + b n 0 n + 1 | + | b n 0 + 1 + b n 0 + 2 + . . . + b n n + 1 | ⩽ ( n 0 + 1 ) K n + 1 + ( n − n 0 ) ϵ n + 1 < 2 ϵ {displaystyle left|{frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1}} ight|leqslant left|{frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n_{0}}}{n+1}} ight|+left|{frac {b_{n_{0}+1}+b_{n_{0}+2}+...+b_{n}}{n+1}} ight|leqslant {frac {(n_{0}+1)K}{n+1}}+{frac {(n-n_{0})epsilon }{n+1}}<2epsilon } .

Доказательство леммы завершено.