Задача Шепарда

07.03.2021

Задача Шепарда — вопрос выпуклой геометрии о сравнении объёмов двух симметричных выпуклых тел при условии, что в любом направлении площадь проекции первого не превосходит площади проекции второго.

Вопрос был сформулирован Джеффри Шепардoм в 1964 году.

Ответ на этот вопрос — «да» в размерности 2 и «нет» в размерности 3 и выше. Последнее было доказано независимо Петти и Шнайдером в 1967 году.

Формулировка

Пусть K {displaystyle K} и L {displaystyle L} — два центрально-симметричных выпуклых тела в n {displaystyle n} -мерном евклидовом пространстве. Предположим, площадь ортогональной проекции K {displaystyle K} на произвольную гиперплоскость Π {displaystyle Pi } не превышает площади ортогональной проекции L {displaystyle L} на Π {displaystyle Pi } . Верно ли, что объём K {displaystyle K} не превышает объёма L {displaystyle L} ?