Ортодиагональный четырёхугольник

В евклидовой геометрии ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом.

Специальные случаи

Дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником, в котором одна диагональ является осью симметрии. Дельтоиды — это в точности ортодиагональные четырёхугольники, имеющие окружность, касающуюся всех четырёх сторон. Таким образом, дельтоиды являются описанными ортодиагональными четырёхугольниками.

Ромб — это ортодиагональный четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон (т.е. ортодиагональный четырёхугольник и параллелограмм одновременно).

Квадрат — это частный случай ортодиагонального четырёхугольника, который является одновременно и дельтоидом, и ромбом.

Ортодиагональные равнодиагональные четырёхугольники, в которых диагонали не меньше любой стороны, имеют максимальный диаметр среди всех четырёхугольников, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра. Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других.

Описание

Для любого ортодиагонального четырёхугольника суммы квадратов противоположных сторон равны — для сторон a, b, c и d мы имеем:

a 2 + c 2 = b 2 + d 2 . {displaystyle displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}

Это следует из теоремы Пифагора, по которой любая из этих двух сумм равна сумме четырёх квадратов расстояний от вершин четырёхугольника до точки пересечения диагоналей.

Обратно — любой четырёхугольник, в котором a2 + c2 = b2 + d2, должен быть ортодиагональным . Это можно показать разными путями, используя теорему косинусов, вектора, доказательство от противного и комплексные числа .

Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда бимедианы имеют одинаковую длину.

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны также тогда и только тогда, когда

∠ P A B + ∠ P B A + ∠ P C D + ∠ P D C = π {displaystyle angle PAB+angle PBA+angle PCD+angle PDC=pi } ,

где P — точка пересечения диагоналей. Из этого равенства следует почти немедленно, что диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны также тогда и только тогда, когда проекции пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника являются вершинами вписанного четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершинами которого служат середины сторон) является прямоугольником. Также выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины его сторон и основания четырёх антимедиатрис являются восемью точками, лежащими на одной окружности, окружности восьми точек. Центр этой окружности является центроидом четырёхугольника. Четырёхугольник, образованный основаниями антимедиатрис, называется главным орточетырёхугольником.

Если нормали к сторонам выпуклого четырёхугольника ABCD через пересечение диагоналей пересекают противоположные стороны в точках R, S, T, U, а K, L, M, N — основания нормалей, то четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K, L, M, N, R, S, T и U лежат на одной окружности, второй окружности восьми точек. Кроме того, выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда четырёхугольник RSTU является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD.

Есть несколько соотношений относительно четырёх треугольников, образованных точкой пересечения диагоналей P и вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD. Обозначим через m1, m2, m3, m4 медианы в треугольниках ABP, BCP, CDP, DAP из P на стороны AB, BC, CD, DA соответственно. Обозначим через R1, R2, R3, R4 радиусы описанных окружностей, а через h1, h2, h3, h4 — высоты этих треугольников. Тогда четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих равенств:

• m 1 2 + m 3 2 = m 2 2 + m 4 2 {displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}
• R 1 2 + R 3 2 = R 2 2 + R 4 2 {displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}
• 1 h 1 2 + 1 h 3 2 = 1 h 2 2 + 1 h 4 2 {displaystyle {frac {1}{h_{1}^{2}}}+{frac {1}{h_{3}^{2}}}={frac {1}{h_{2}^{2}}}+{frac {1}{h_{4}^{2}}}}

Более того, четырёхугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей P ортодиагонален тогда и только тогда, когда центры описанных вокруг треугольников ABP, BCP, CDP и DAP окружностей являются серединами сторон четырёхугольника.

Сравнение с описанным четырёхугольником

Некоторые числовые характеристики описанных четырёхугольников и ортодиагональных четырёхугольников очень похожи, что видно в следующей таблице. Здесь длины сторон четырёхугольника равны a, b, c, d, радиусы описанных окружностей вокруг треугольников равны R1, R2, R3, R4, а высоты равны h1, h2, h3, h4 (как на рисунке).

Площадь

Площадь K ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q:

K = p ⋅ q 2 . {displaystyle K={frac {pcdot q}{2}}.}

Обратно — любой выпуклый четырёхугольник, площадь которого равна половине произведения диагоналей, ортодиагонален. Ортодиагональный четырёхугольник имеет наибольшую площадь среди всех выпуклых четырёхугольников с данными диагоналями.

Другие свойства

• Только для ортодиагональных четырёхугольников площадь не определяется однозначно сторонами и углом между диагоналями. Например, если из двух ромбов со сторонами a (как у всех ромбов, у них диагонали перпендикулярны) один имеет меньший острый угол, то площади будут различными.
• Если на сторонах любого четырёхугольника (выпуклого, вогнутого или самопересекающегося) нарисовать квадраты, то их центры будут вершинами ортодиагонального четырёхугольника (к тому же и равнодиагонального). Это утверждение носит название теоремы Ван-Обеля.

Свойства ортодиагонального вписанного четырёхугольника

Радиус описанной окружности и площадь

Пусть во вписанном в окружность ортодиагональном четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит одну из диагоналей на отрезки длиной p1 и p2, а другую — на отрезки длиной q1 и q2. Тогда (первое равенство в Утверждении 11 в книге Архимеда «Леммы»)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 {displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}} ,

где D — диаметр описанной окружности. Это выполняется для любых двух перпендикулярных хорд окружности. Из этой формулы вытекает выражение для радиуса описанной окружности

R = 1 2 p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 {displaystyle R={ frac {1}{2}}{sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}

или, в терминах сторон четырёхугольника,

R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2 . {displaystyle R={ frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}+c^{2}}}={ frac {1}{2}}{sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}

Отсюда также следует, что

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . {displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}

Тогда, согласно формуле Эйлера, радиус описанной окружности может быть выражен в терминах диагоналей p и q и расстоянию x между серединами диагоналей

R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 . {displaystyle R={sqrt {frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника в терминах четырёх сторон получается непосредственно, если скомбинировать теорему Птолемея и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника.

K = 1 2 ( a c + b d ) . {displaystyle K={ frac {1}{2}}(ac+bd).}

Другие свойства

• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для любого вписанного ортодиагонального четырёхугольника перпендикуляр к стороне, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит пополам противоположную сторону.
• Если ортодиагональный четырёхугольник является вписанным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны.
• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.
• Ортодиагональный четырёхугольник, являющийся также равнодиагональным, является среднеквадратным четырёхугольником, поскольку его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена чисто в терминах сторон.

Прямоугольники вписанные в ортодиагональный четырехугольник

В любой ортодиагональный четырехугольник можно вписать бесконечно много прямоугольников, относящихся к следующим двум множествам:

(i) прямоугольники, чьи стороны параллельны диагоналям ортодиагонального четырехугольника (ii) прямоугольники, определяемые окружностями точек Паскаля.