Тригонометрическое число

07.03.2021

В математике тригонометрическое число (англ. trigonometric number) — иррациональное число, полученное как синус или косинус рационального числа оборотов или, что то же самое, синус или косинус угла, величина которого в радианах является рациональным кратным числа пи, или синус или косинус рационального числа градусов.

Вещественное число, отличное от 0, 1, −1, является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является вещественной частью корня из единицы.

Доказательства теорем об этих числах дал канадско-американский математик Айвен Нивен, впоследствии его доказательства улучшили и упростили Ли Чжоу и Любомир Марков.

Любое тригонометрическое число может быть выражено через радикалы. Таким образом, каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом. Последнее утверждение можно доказать, взяв за основу формулу Муавра для случая θ = 2 π k / n {displaystyle heta =2pi k/n} для взаимно простых k и n:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = 1. {displaystyle (cos heta +isin heta )^{n}=1.}

Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в cos ⁡ θ {displaystyle cos heta } и sin 2 ⁡ θ ; {displaystyle sin ^{2} heta ;} подставляя sin 2 ⁡ θ = 1 − cos 2 ⁡ θ {displaystyle sin ^{2} heta =1-cos ^{2} heta } , получаем уравнение полинома, имеющее cos ⁡ θ {displaystyle cos heta } своим решением, поэтому последнее по определению является алгебраическим числом. Также sin ⁡ θ {displaystyle sin heta } является алгебраическим числом, поскольку он равен алгебраическому числу cos ⁡ ( θ − π / 2 ) . {displaystyle cos( heta -pi /2).} Наконец, tan ⁡ θ {displaystyle an heta } , где θ {displaystyle heta } является рациональным, кратным π {displaystyle pi } , является алгебраическим, что можно получить, приравнивая мнимые части двух сторон разложения уравнения Муавра друг к другу и разделив на cos n ⁡ θ {displaystyle cos ^{n} heta } для получения полиномиального уравнения в tan ⁡ θ . {displaystyle an heta .}