Теорема Крамера о разложении нормального распределения

Теорема Крамера о разложении нормального распределения — утверждение в теории вероятности. Хорошо известно, что если случайные величины ξ 1 {displaystyle xi _{1}} и ξ 2 {displaystyle xi _{2}} независимы и нормально распределены, то их сумма также нормально распределена. Оказывается, что верно и обратное утверждение. Этот результат, предугаданный П. Леви и доказанный Крамером, привел к возникновению нового направления в теории вероятностей — теории разложений случайных величин на независимые слагаемые (арифметики вероятностных распределений).

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина ξ {displaystyle xi } имеет нормальное распределение и представима в виде суммы двух независимых случайных величин ξ = ξ 1 + ξ 2 {displaystyle xi =xi _{1}+xi _{2}} . Тогда ξ 1 {displaystyle xi _{1}} и ξ 2 {displaystyle xi _{2}} также нормально распределены.

Доказательство теоремы Крамера о разложении нормального распределения использует теорию целых функций.