Деформационный потенциал

Деформационный потенциал — потенциал взаимодействия между длинноволновыми фононами и электронами в твердом теле.

Деформационный потенциал строится, исходя из предположения, что локальное изменение плотности кристалла при прохождении акустического фонона приводит к снижению дна энергетической зоны по формуле

E B = E B 0 − σ Sp ε ^ {displaystyle E_{B}=E_{B0}-sigma { ext{Sp}}{hat {varepsilon }}} ,

где E B {displaystyle E_{B}} — энергия дна зоны, E B 0 {displaystyle E_{B0}} — соответствующая величина в идеальном кристалле, ε ^ {displaystyle {hat {varepsilon }}} — тензор деформации, σ {displaystyle sigma } — определенный коэффициент, Sp — обозначение следа матрицы.

Постоянную σ можно оценить, зная зависимость энергии электронной системы от плотности электронов. Например, в случае идеального электронного газа σ = 3 2 E F {displaystyle sigma ={frac {3}{2}}E_{F}} , где E F {displaystyle E_{F}} - уровень Ферми.

Тензор деформации в кристалле можно выразить через амплитуды фононов. Выраженный через операторы рождения и уничтожения электронов и фотонов, деформационный потенциал записывается

H ^ i n t = 1 N ∑ k , q , g F a ( q + g ) a k + q + g † a k ( b q a − b − q a † ) {displaystyle {hat {H}}_{int}={frac {1}{sqrt {N}}}sum _{mathbf {k} ,mathbf {q} ,mathbf {g} }F_{a}(mathbf {q} +mathbf {g} )a_{mathbf {k} +mathbf {q} +mathbf {g} }^{dagger }a_{mathbf {k} }(b_{mathbf {qa} }-b_{-mathbf {q} a}^{dagger })} ,

где

F a ( q ) = − i σ ℏ | q | 2 M c a {displaystyle F_{a}(mathbf {q} )=-isigma {sqrt {frac {hbar |mathbf {q} |}{2Mc_{a}}}}}

ℏ {displaystyle hbar } - постоянная Планка, M - суммарная масса атомов одной элементраной ячейки, c a {displaystyle c_{a}} - скорость звука для продольной ветви фононов, k {displaystyle mathbf {k} } - квази-импульс электрона, q {displaystyle mathbf {q} } - квази-импульс фонона, g {displaystyle mathbf {g} } - вектор обратной решетки, a k † {displaystyle a_{mathbf {k} }^{dagger }} - оператор рождения электрона, b q a † {displaystyle b_{mathbf {q} a}^{dagger }} - оператор рождения акустического фонона.

Члены с ненулевыми векторами обратной решетки описывают процессы переброса, которые могут играть значительную роль при высоких температурах. При таких процессах даже длинноволновые акустические фононы могут рассеивать электроны на большие углы.