Дикая сфера

09.03.2021

Дикая сфера — патологический пример вложения сферы в пространство.

Определение

Вложение стандартной сферы S 2 ⊂ E 3 {displaystyle mathbb {S} ^{2}subset mathbb {E} ^{3}} в евклидово пространство E 3 {displaystyle mathbb {E} ^{3}} называется диким если оно не продолжается до вложения окрестности U ⊃ S 2 {displaystyle Usupset mathbb {S} ^{2}} в E 3 {displaystyle mathbb {E} ^{3}} .

Примеры

  • Дикой сферой является сумма двух дисков с общим краем, являющимся диким узлом.

«Рогатая» сфера Александера

Первый пример дикой сферы — так называемая «рогатая сфера Александера» (названная по имени Джеймса Александера) — ограничивает область, не гомеоморфную E 3 {displaystyle mathbb {E} ^{3}} .

Построение

  • Сделаем радиальный разрез тора.
  • К каждому разрезу приклеим по проколотому тору, так, чтобы новые два тора были зацеплены друг с другом.
  • Повторим шаги 1—2 для добавленных двух торов. И так продолжим до бесконечности.
  • Точки торов, которые не будут удалены на каком-то этапе, образуют вложение сферы с исключённым канторовым множеством. Затем это вложение распространяется на всю поверхность.

    Построенная поверхность гомеоморфна сфере S 2 {displaystyle mathbb {S} ^{2}} . Однако «дикость» построенного вложения проявляется в том, что внешняя часть дополнения не является односвязной, тогда как для обычного вложения сферы внешняя и внутренняя часть — односвязные множества.