Обратная задача

Обратная задача — тип задач, часто возникающий во многих разделах науки, когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

Примеры обратных задач можно найти в следующих областях: геофизика, астрономия, медицинская визуализация, компьютерная томография, дистанционное зондирование Земли, спектральный анализ, теория рассеяния и задачи по неразрушающему контролю.

Обратные задачи являются некорректно поставленными задачами. Из трёх условий корректно поставленной задачи (существование решения, единственность решения и его устойчивость) в обратных задачах наиболее часто нарушается последнее. В функциональном анализе обратная задача представляется в виде отображения между метрическими пространствами. Обратные задачи обычно формулируются в бесконечномерных пространствах, но ограничение на конечность измерений и целесообразность вычисления конечного числа неизвестных параметров приводят к изменению задачи в дискретной форме. В этом случае используют метод регуляризации для того, чтобы избежать переобучения.

Линейная обратная задача

Линейная обратная задача может быть описана в следующем виде:

  d = G ( m ) {displaystyle d=G(m)} ,

где G {displaystyle G} — линейный оператор, описывающий явные отношения между данными и параметрами модели, и представляющий собой физическую систему. В случае дискретной линейной обратной задачи, описывающей линейную систему, d {displaystyle d} и m {displaystyle m} являются векторами, что позволяет использовать следующее представление задачи:

  d = G m {displaystyle d=Gm} ,

где G {displaystyle G} является матрицей.

Примеры

Примером линейной обратной задачи служит интегральное уравнение Фредгольма первого порядка.

d ( x ) = ∫ a b g ( x , y ) m ( y ) d y {displaystyle d(x)=int limits _{a}^{b}g(x,y),m(y),dy}

Для существенно гладкого g {displaystyle g} определённый выше оператор является компактным на таких банаховых пространствах, как Пространства L p {displaystyle L^{p}} . Даже если отображение является взаимно однозначным, обратная функция не будет непрерывной. Таким образом, даже маленькие ошибки в данных d {displaystyle d} будут сильно увеличены в решении m {displaystyle m} . В этом отношении обратная задача по определению m {displaystyle m} из измеренных данных d {displaystyle d} будет являться некорректной.

Для получения численного решения необходимо аппроксимировать интеграл с помощью численного интегрирования и дискретных данных. Результирующая система линейных уравнений будет некорректно поставленной задачей.

Преобразование Радона также является примером линейной обратной задачи.

Нелинейная обратная задача

В нелинейных обратных задачах ставятся более сложные отношения между данными и моделью, которые описываются уравнением:

  d = G ( m ) . {displaystyle d=G(m).}

Здесь G {displaystyle G} представляет собой нелинейный оператор, который не может быть приведён к виду линейного отображения, переводящего m {displaystyle m} в данные. Линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце XIX века, из нелинейных до 1970 года был решён только один класс задач — задача обратного рассеяния. Существенный вклад внесла российская математическая школа (Крейн, Гельфанд, Левитан).