Ряд Лиувилля — Неймана

12.03.2021

Ряд Лиувилля — Неймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

u ( x ) = λ ∫ G K ( x , y ) u ( y ) d y + f ( x ) {displaystyle u(x)=lambda int limits _{G}K(x,;y)u(y),dy+f(x)}

методом последовательных приближений, положив u ( 0 ) ( x ) = f ( x ) {displaystyle u^{(0)}(x)=f(x)} :

u ( p ) ( x ) = λ ∫ G K ( x , y ) u ( p − 1 ) ( y ) d y + f ( x ) = λ ( K u ( p − 1 ) ) ( x ) + f ( x ) , p = 1 , 2 , … {displaystyle u^{(p)}(x)=lambda int limits _{G}K(x,;y)u^{(p-1)}(y),dy+f(x)=lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),quad p=1,;2,;ldots }

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

u ( p ) = ∑ k = 0 p λ k ( K k f ) ( x ) , p = 0 , 1 , … {displaystyle u^{(p)}=sum _{k=0}^{p}lambda ^{k}(K^{k}f)(x),quad p=0,;1,;ldots }

Функции ( K p f ) ( x ) {displaystyle (K^{p}f)(x)} называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на G {displaystyle G} :

‖ K p f ‖ C = ‖ K ( K p − 1 f ) ‖ C ⩽ M m e s G ‖ K p − 1 f ‖ C ⩽ … ⩽ ( M m e s G ) p ‖ f ‖ C , p = 0 , 1 , … , {displaystyle |K^{p}f|_{C}=|K(K^{p-1}f)|_{C}leqslant Mmathrm {mes} ,G|K^{p-1}f|_{C}leqslant ldots leqslant (Mmathrm {mes} ,G)^{p}|f|_{C},quad p=0,;1,;ldots ,}

где m e s G {displaystyle mathrm {mes} ,G} — мера множества G {displaystyle G} , а M = max G | K ( x , y ) | {displaystyle M=max _{G}|K(x,;y)|} .

Из этой оценки следует, что ряд

∑ k = 0 ∞ λ k ( K k f ) ( x ) , x ∈ G , {displaystyle sum _{k=0}^{infty }lambda ^{k}(K^{k}f)(x),quad xin G,}

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

‖ f ‖ C ∑ k = 0 ∞ | λ | k ( M m e s G ) k = ‖ f ‖ C 1 − | λ | M m e s G , {displaystyle |f|_{C}sum _{k=0}^{infty }|lambda |^{k}(Mmathrm {mes} ,G)^{k}={frac {|f|_{C}}{1-|lambda |Mmathrm {mes} ,G}},}

сходящимся в круге | λ | < 1 / ( M m e s G ) {displaystyle |lambda |<1/(Mmathrm {mes} ,G)} , поэтому при таких λ {displaystyle lambda } ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения u ( p ) ( x ) {displaystyle u^{(p)}(x)} при p → ∞ {displaystyle p o infty } равномерно стремятся к искомой функции u ( x ) {displaystyle u(x)} .