Локальное поле

13.03.2021

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Типы

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

  • Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } и поле комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } .
  • Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} и их конечные расширения.
  • Неархимедовы локальные поля характеристики p ≠ 0 {displaystyle p eq 0} : формальные ряды Лорана над конечным полем F p n {displaystyle mathbb {F} _{p^{n}}} и их конечные расширения.

Свойства

Общие свойства

  • Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
  • На любом локальном поле K {displaystyle K} можно ввести абсолютную величину | a | {displaystyle |a|} такую, что | a | = μ ( a X ) μ ( X ) {displaystyle |a|={frac {mu (aX)}{mu (X)}}}
для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества X ⊂ K {displaystyle Xsubset K} с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля

  • В неархимедовом локальном поле K {displaystyle K} с абсолютной величиной | ∗ | {displaystyle |{*}|} можно дать следующие определения:
    • Кольцо целых чисел O = { a ∈ K : | a | ⩽ 1 } . {displaystyle {mathcal {O}}={ain K:|a|leqslant 1}.}
      • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в ( K , | ∗ | ) {displaystyle (K,|{*}|)} .
    • Единицы в кольце целых чисел определяются как O × = { a ∈ K : | a | = 1 } {displaystyle {mathcal {O}}^{ imes }={ain K:|a|=1}} .
      • Они образуют группу и единичную сферу в ( K , | ∗ | ) {displaystyle (K,|{*}|)} .
    • Единственный ненулевой простой идеал m {displaystyle {mathfrak {m}}} в кольце целых чисел является открытым единичным шаром { a ∈ K : | a | < 1 } , {displaystyle {ain K:|a|<1},}
и его образующий элемент ω ∈ m {displaystyle omega in {mathfrak {m}}} называется униформизирующим элементом K {displaystyle K} .
  • Поле остатков k = O / m {displaystyle k={mathcal {O}}/{mathfrak {m}}} является конечным, поскольку компактно и дискретно.
  • При этом | ω | = 1 | k | {displaystyle |omega |={ frac {1}{|k|}}} , где | k | {displaystyle |k|} — мощность поля остатков k {displaystyle k} .
  • Каждый ненулевой элемент a ∈ K {displaystyle ain K} можно записать как a = ω n ⋅ u {displaystyle a=omega ^{n}cdot u} , где u {displaystyle u} — единичный элемент, n {displaystyle n} — целое число, определяемое однозначно по a {displaystyle a} .
    • В частности | a | = | k | − n = | ω | n . {displaystyle |a|=|k|^{-n}=|omega |^{n}.}