Преобразование Вигнера — Вилла

Преобразование Вигнера — Вилла (англ. Wigner — Ville transform) — один из эффективных методов спектрально-временного анализа нестационарных сигналов. Встречаются другие названия: преобразование Вигнера — Вилля, распределение Вигнера — Вилла (англ. Wigner — Ville distribution), распределение Вигнера — Вилля, функция Вигнера.

Вычисление

P ( τ , f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( τ + t 2 ) ⋅ s ∗ ( τ − t 2 ) ⋅ e − j 2 π f t d t {displaystyle Pleft( au ,f ight)=int limits _{-infty }^{infty }sleft( au +{frac {t}{2}} ight)cdot s^{*}left( au -{frac {t}{2}} ight)cdot e^{-j2pi ft}dt}

Распределение P ( τ , f ) {displaystyle Pleft( au ,f ight)} может принимать только действительные значения (включая отрицательные).

Несмотря на высокое разрешение как по частоте, так и по времени, распределение может порождать побочные частотные компоненты, затрудняющие анализ сигнала. Это связано с нелинейностью преобразования.

Существует несколько методов, позволяющих уменьшить интенсивность побочных компонент, используя определённые процедуры усреднения. Один из них − использование окна h(t) во временной области. В результате получается так называемое псевдопреобразование Вигнера:

P ( τ , f ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t ) ⋅ s ( τ + t 2 ) ⋅ s ∗ ( τ − t 2 ) ⋅ e − j 2 π f t d t {displaystyle Pleft( au ,f ight)=int limits _{-infty }^{infty }h(t)cdot sleft( au +{frac {t}{2}} ight)cdot s^{*}left( au -{frac {t}{2}} ight)cdot e^{-j2pi ft}dt}

Если окно прямоугольное:

h ( t ) = { 1 , − t 0 ≤ t ≤ t 0 0 , | t | > t 0 , {displaystyle h(t)=left{{egin{array}{ll}1,&-t_{0}leq tleq t_{0},&|t|>t_{0}end{array}} ight.{ extrm {,}}}

то при t 0 → ∞ {displaystyle t_{0} ightarrow infty } псевдопреобразование Вигнера переходит в обычное преобразование Вигнера — Вилла. При уменьшении t0 интенсивность побочных спектральных компонент снижается, плата за это — ухудшение частотного разрешения.

При анализе оцифрованного сигнала псевдопреобразование Вигнера удобнее вычислять с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) в скользящем окне. Для этого перед вычислением процедуры БПФ выборку из сигнала s[n], выделенную скользящим окном размером Nwin отсчетов, преобразуют по следующему алгоритму:

если размер окна нечётный, то

s 1 [ n ] = s [ n ] ⋅ s ∗ [ N w i n − n − 1 ] , n = 0 , 1 , … , N w i n − 1 , {displaystyle {egin{array}{ll}s_{1}[n]=s[n]cdot s^{*}[N_{win}-n-1],&n=0,1,ldots ,N_{win}-1,end{array}}}

для четного размера окна

s 1 [ n ] = s [ n ] ⋅ s ∗ [ N w i n − n − 2 ] , n = 0 , 1 , … , N w i n − 2 , s 1 [ N w i n − 1 ] = s [ N w i n − 1 ] ⋅ s ∗ [ N w i n − 1 ] ; {displaystyle {egin{array}{ll}s_{1}[n]=s[n]cdot s^{*}[N_{win}-n-2],&n=0,1,ldots ,N_{win}-2,s_{1}[N_{win}-1]=s[N_{win}-1]cdot s^{*}[N_{win}-1];&end{array}}}

чтобы результат процедуры БПФ получился действительным, необходимо перед её вычислением выполнить циклическую перестановку полученного сигнала s1[n] влево на (Nwin−1)/2 (если Nwin — нечётное) или на Nwin/2-1 (если Nwin — четное).

При построении вычисленного спектрально-временного распределения все значения на шкале частот следует разделить на 2

Пример использования

Для иллюстрации метода пригодна бесплатная компьютерная программа PSE Lab.

Результат построения спектрально-временного распределения для сигнала, смоделированного на компьютере:

s [ n ] = exp ⁡ ( j ⋅ ( 2 π ⋅ 0.05 ⋅ n + 100 ⋅ sin ⁡ ( 2 π ⋅ 0.0005 ⋅ n ) ) ) + exp ⁡ ( j ⋅ ( 2 π ⋅ 0.1 ⋅ n + 200 ⋅ sin ⁡ ( 2 π ⋅ 0.0005 ⋅ n ) ) ) , {displaystyle s[n]=exp left(jcdot left(2pi cdot 0.05cdot n+100cdot sin left(2pi cdot 0.0005cdot n ight) ight) ight)+exp left(jcdot left(2pi cdot 0.1cdot n+200cdot sin left(2pi cdot 0.0005cdot n ight) ight) ight),}

состоящего из двух ЧМ компонент, мгновенная цифровая частота одной из них меняется по синусоидальному закону в диапазоне от 0 до 0,1, а другой — от 0 до 0,2, приведены на рисунках.

На рис. 1 представлено спектрально-временное распределение энергии, полученное с помощью псевдопреобразования Вигнера c размером окна Nwin=500 отсчетов. По оси абсцисс отложено время (увеличивается слева-направо), по оси ординат — цифровая частота. Более темные участки распределения соответствуют большей интенсивности.

Для сравнения, на рис. 2 представлена Фурье-спектрограмма, вычисленная с таким же размером окна.

Качественно можно видеть, что спектрально-временное распределение Вигнера — Вилла (рис. 1) имеет более высокое частотно-временное разрешение, по сравнению со спектрограммой (рис. 2).

При увеличении размера окна количество и интенсивность побочных частотных компонент в распределении Вигнера — Вилла увеличиваются, что может осложнить анализ основных частотных компонент (рис. 3).