Тригонометрический ряд

07.04.2021

Тригонометрический ряд — числовой ряд вида:

A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( A n cos ⁡ n x + B n sin ⁡ n x ) {displaystyle {frac {A_{0}}{2}}+displaystyle sum _{n=1}^{infty }(A_{n}cos {nx}+B_{n}sin {nx})} .

Тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции f ( x ) {displaystyle f(x)} , если коэффициенты A n {displaystyle A_{n}} и B n {displaystyle B_{n}} определяются следующим образом:

A n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , 3 … ) {displaystyle A_{n}={frac {1}{pi }}displaystyle int _{-pi }^{pi }!f(x)cos {nx},dxqquad (n=0,1,2,3dots )} B n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {displaystyle B_{n}={frac {1}{pi }}displaystyle int _{-pi }^{pi }!f(x)sin {nx},dxqquad (n=1,2,3,dots )}

где f ( x ) {displaystyle f(x)} — это суммируемая на [ − π , π ] {displaystyle [-pi ,pi ]} функция. .

Не каждый тригонометрический ряд является рядом Фурье.

Типичная задача в теории тригонометрических рядов: найти, при каких значениях переменной x {displaystyle x} данный тригонометрический ряд сходится.