Поверхность Дарбу


Поверхность Дарбу — двумерная поверхность F2 в трёхмерном евклидовом пространстве E3, на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу.

Тензор Дарбу — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определённый на поверхности F2 с ненулевой гауссовой кривизной K в E3.

Компоненты тензора Дарбу Θ {displaystyle Theta } вычисляются по формулам:

Θ i j m = ∇ m b i j − b i j ∇ m K + b m i ∇ j K + b j m ∇ i K 4 K , i , j , m = 1 , 2 , {displaystyle Theta _{ijm}= abla _{m}b_{ij}-{frac {b_{ij} abla _{m}K+b_{mi} abla _{j}K+b_{jm} abla _{i}K}{4K}},quad i,j,m=1,2,}

где b i j {displaystyle b_{ij}} — коэффициенты второй квадратичной формы, K — гауссова кривизна, а ∇ m b i j {displaystyle abla _{m}b_{ij}} и ∇ m K {displaystyle abla _{m}K} — их ковариантные производные.

К этому тензору в специальных координатах впервые пришёл Г. Дарбу.

Обращение в ноль тензора Дарбу характеризует поверхности Дарбу в E3 — двумерные поверхности второго порядка, не развертывающиеся на плоскость.

Другое важное свойство поверхностей Дарбу связано с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Так, поверхности Дарбу положительной гауссовой кривизны K>0 в E3 характеризуются тем свойством, что система уравнений бесконечно малых изгибаний на них и только на них сводится к системе уравнений Коши — Римана.

Естественным обобщением поверхностей Дарбу являются n-мерные подмногообразия с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в (n+p)-мерных пространствах постоянной кривизны.

Всякая циклически рекуррентная поверхность F2 с ненулевой гауссовой кривизной K в трехмерном евклидовом пространстве E3 локально есть поверхность Дарбу.

  • Теорема Бонне. На поверхности Дарбу в трёхмерном евклидовом пространстве вдоль каждой линии кривизны соответствующая ей главная кривизна пропорциональна кубу другой главной кривизны.