Аналитическая теория чисел

21.09.2021

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

a 1 x 1 + . . . + a n x n = N , {displaystyle a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=N,}

где a 1 , . . . , a n {displaystyle a_{1},...,a_{n}} — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при | z | < 1 {displaystyle |z|<1} )

F i ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( z a i ) k {displaystyle F_{i}(z)=sum _{k=0}^{infty }{(z^{a_{i}})^{k}}}

и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

F ( z ) = ∑ N = 0 ∞ l ( N ) z N , {displaystyle F(z)=sum _{N=0}^{infty }l(N)z^{N},}

где l ( N ) {displaystyle l(N)} — число решений изучаемого уравнения.

В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида

S ( a ) = ∑ n = 1 p e 2 π i a n 2 / p , {displaystyle S(a)=sum _{n=1}^{p}e^{2pi ian^{2}/p},}

которые положили начало использованию тригонометрических сумм. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

Π p ( 1 − 1 p s ) − 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {displaystyle Pi _{p}left(1-{frac {1}{p^{s}}} ight)^{-1}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}} ,

которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения ζ ( s ) = 0 {displaystyle zeta (s)=0} лежат на так называемой критической прямой R e s = 1 2 {displaystyle mathrm {Re} ,s={frac {1}{2}}} , где ζ {displaystyle zeta } — дзета-функция Римана.

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

Π p ( 1 − χ ( p ) p s ) − 1 = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {displaystyle Pi _{p}left(1-{frac {chi (p)}{p^{s}}} ight)^{-1}=sum _{n=1}^{infty }{frac {chi (n)}{n^{s}}}} ,

при этом функция χ ( p ) {displaystyle chi (p)} , получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.

Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих X {displaystyle X} , обозначенное как π ( X ) {displaystyle pi (X)} , стремится к бесконечности по следующему закону:

a X ln ⁡ ( X ) < π ( X ) < b X ln ⁡ ( X ) {displaystyle a{frac {X}{ln(X)}}<pi (X)<b{frac {X}{ln(X)}}} , где a > 1 / 2 ln ⁡ 2 {displaystyle a>1/2ln 2} и b < 2 ln ⁡ 2 {displaystyle b<2ln 2} .

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.