Гипоциклоида

26.11.2021

Гипоциклоида (греч. ὑπό (под, внизу) + греч. κύκλος (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Параметрические уравнения:

{ x = r ( k − 1 ) ( cos ⁡ t + cos ⁡ ( ( k − 1 ) t ) k − 1 ) y = r ( k − 1 ) ( sin ⁡ t − sin ⁡ ( ( k − 1 ) t ) k − 1 ) {displaystyle {egin{cases}x=r(k-1)left(cos t+{frac {cos((k-1)t)}{k-1}} ight)y=r(k-1)left(sin t-{frac {sin((k-1)t)}{k-1}} ight)end{cases}}}

где k = R r {displaystyle extstyle k={frac {R}{r}}} , где R {displaystyle R} — радиус неподвижной окружности, r {displaystyle r} — радиус катящейся окружности.

Модуль величины k {displaystyle k} определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 {displaystyle k=2} гипоциклоида описывается парой Туси — это диаметр неподвижной окружности, при k = 4 {displaystyle k=4} является астроидой. Если модуль k {displaystyle k} — несократимая дробь вида m n {displaystyle {frac {m}{n}}} ( m , n ∈ N {displaystyle m,nin mathbb {N} } ), то m {displaystyle m} — это количество каспов данной гипоциклоиды, а ( m − n ) {displaystyle (m-n)} — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль k {displaystyle k} иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

Примеры гипоциклоид