Шестнадцатиячейник

02.01.2022

Правильный шестнадцатиячейник, или просто шестнадцатиячейник — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гипероктаэдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли шестнадцатиячейника — {3,3,4}.

Описание

Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности 120 ∘ . {displaystyle 120^{circ }.}

Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки.

Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.

Шестнадцатиячейник можно представить как две одинаковых правильных четырёхмерных пирамиды, приложенные друг к другу своими октаэдрическими основаниями, — либо как четырёхмерную дуопирамиду, построенную на двух квадратах.

В координатах

Шестнадцатиячейник можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его 8 вершин имели координаты ( ± 1 ; 0 ; 0 ; 0 ) , {displaystyle (pm 1;0;0;0),} ( 0 ; ± 1 ; 0 ; 0 ) , {displaystyle (0;pm 1;0;0),} ( 0 ; 0 ; ± 1 ; 0 ) , {displaystyle (0;0;pm 1;0),} ( 0 ; 0 ; 0 ; ± 1 ) . {displaystyle (0;0;0;pm 1).}

При этом сечения многоячейника 6 координатными плоскостями будут представлять собой 6 квадратов, вершины и рёбра которых — соответственно вершины и рёбра многоячейника.

Каждая из 16 ячеек многоячейника будет располагаться в одном из 16 ортантов четырёхмерного пространства.

Начало координат ( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) {displaystyle (0;0;0;0)} будет центром симметрии шестнадцатиячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Поверхность шестнадцатиячейника при этом будет геометрическим местом точек ( x ; y ; z ; w ) , {displaystyle (x;y;z;w),} чьи координаты удовлетворяют уравнению

| x | + | y | + | z | + | w | = 1 , {displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|=1,}

а внутренность многоячейника — геометрическим место точек, для которых

| x | + | y | + | z | + | w | < 1. {displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|<1.}

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если шестнадцатиячейник имеет ребро длины a , {displaystyle a,} то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V 4 = 1 6 a 4 ≈ 0,166 6667 a 4 , {displaystyle V_{4}={frac {1}{6}};a^{4}approx 0{,}1666667a^{4},} S 3 = 4 2 3 a 3 ≈ 1,885 6181 a 3 . {displaystyle S_{3}={frac {4{sqrt {2}}}{3}};a^{3}approx 1{,}8856181a^{3}.}

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R = 2 2 a ≈ 0,707 1068 a , {displaystyle R={frac {sqrt {2}}{2}};aapprox 0{,}7071068a,}

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ 1 = 1 2 a = 0,500 0000 a , {displaystyle ho _{1}={frac {1}{2}};a=0{,}5000000a,}

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

ρ 2 = 6 6 a ≈ 0,408 2483 a , {displaystyle ho _{2}={frac {sqrt {6}}{6}};aapprox 0{,}4082483a,}

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r = 2 4 a ≈ 0,353 5534 a . {displaystyle r={frac {sqrt {2}}{4}};aapprox 0{,}3535534a.}

Заполнение пространства

Шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.