Касательное пространство Зарисского

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

Мотивировка

Рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную полиномиальным уравнением

F ( x , y ) = 0. {displaystyle F(x,y)=0.}

Опишем касательное пространство к этой кривой в начале координат. Выбросим из уравнения все члены порядка больше первого, останется уравнение

a x + b y = 0. {displaystyle ax+by=0.}

Возможны два случая: либо a = b = 0 {displaystyle a=b=0} , в этом случае касательное пространство определяется как вся аффинная плоскость (все её точки удовлетворяют уравнению выше), в этом случае начало координат является особой точкой кривой. В противном случае, касательное пространство — это прямая, рассматриваемая как одномерное аффинное пространство. (Более точно, в исходной аффинной плоскости нет никакого начала координат. Однако при определении касательного пространства в точке p естественно выбрать начало координат в этой точке.)

Определение

Кокасательное пространство локального кольца R {displaystyle R} с максимальным идеалом m определяется как

m / m 2 {displaystyle {mathfrak {m}}/{mathfrak {m}}^{2}}

где m2 — произведение идеалов. Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов k = R / m {displaystyle k=R/{mathfrak {m}}} . Векторное пространство, двойственное к нему, называется касательным пространством R.

Это определение обобщает данный выше пример на более высокие размерности. Грубо говоря, R {displaystyle R} — это кольцо ростков функций в точке p. Это кольцо локально, его максимальный идеал — ростки функций, равных нулю в p (максимальный идеал локального кольца состоит в точности из необратимых элементов). Так как точка p принадлежит многообразию, нас интересуют только элементы m, факторизация по m2 соответствует выбрасыванию членов больших степеней. Поскольку мы начинали с кольца функций, m / m 2 {displaystyle {mathfrak {m}}/{mathfrak {m}}^{2}} соответствует «линейным функционалам» на касательном пространстве, то есть пространству, двойственному к касательному.

Касательное пространство T P ( X ) {displaystyle T_{P}(X)} и кокасательное пространство T P ∗ ( X ) {displaystyle T_{P}^{*}(X)} к схеме X в точке P — это (ко)касательное пространство локального кольца O X , P {displaystyle {mathcal {O}}_{X,P}} . Благодаря функториальности Spec, естественное отображение факторизации f : R → R / I {displaystyle f:R ightarrow R/I} индуцирует гомоморфизм g : O X , f − 1 ( P ) → O Y , P {displaystyle g:{mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)} ightarrow {mathcal {O}}_{Y,P}} , где X=Spec(R), P — точка Y=Spec(R/I). Этот гомоморфизм часто используют для вложения T P ( Y ) {displaystyle T_{P}(Y)} в T f − 1 P ( X ) {displaystyle T_{f^{-1}P}(X)} (например, касательное пространство многообразия, вложенного в аффинное пространство, естественным образом вложено в касательное пространство аффинного пространства). Так как морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Таким образом, g индуцирует морфизм k касательных пространств, поскольку

m P / m P 2 {displaystyle {mathfrak {m}}_{P}/{mathfrak {m}}_{P}^{2}} ≅ ( m f − 1 P / I ) / ( ( m f − 1 P 2 + I ) / I ) {displaystyle cong ({mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)} ≅ m f − 1 P / ( m f − 1 P 2 + I ) {displaystyle cong {mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)} ≅ ( m f − 1 P / m f − 1 P 2 ) / K e r ( k ) . {displaystyle cong ({mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/mathrm {Ker} (k).}

Так как k сюръективен (является гомоморфизмом факторизации), то двойственное линейное отображение k ∗ : T P ( Y ) → T f − 1 P ( X ) {displaystyle k^{*}:T_{P}(Y) ightarrow T_{f^{-1}P}(X)} инъективно (является вложением).

Аналитический случай

Если V — подмногообразие n-мерного векторного пространства, определённое идеалом I (идеалом функций, равных нулю на этом многообразии), кольцу R соответствует кольцо Fn/I, где Fn — кольцо ростков гладких/аналитических/голоморфных функций на векторном пространстве, I — ростки функций из идеала. Тогда касательное пространство Зарисского в точке x — это

m x / ( I + m x 2 ) , {displaystyle {mathfrak {m}}_{x}/(I+{mathfrak {m}}_{x}^{2}),}

где m x {displaystyle {mathfrak {m}}_{x}} — идеал функций соответствующего типа, равных нулю в точке x.

В примере с алгебраической кривой, I = ( f ) {displaystyle I=(f)} , а ( I + m x 2 ) = ( a x + b y + m x 2 ) . {displaystyle (I+{mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{mathfrak {m}}_{x}^{2}).}

Свойства

Если R — нётерово локальное кольцо, размерность касательного пространства не меньше размерности R:

d i m m / m 2 ⩾ d i m R . {displaystyle mathrm {dim} ;{mathfrak {m}}/{mathfrak {m}}^{2}geqslant mathrm {dim} ;R.}

R называется регулярным кольцом, если выполняется равенство. Если локальное кольцо многообразия V в точке x регулярно, говорят, что x — регулярная точка многообразия. В противном случае x называется особой точкой.

Существует интерпретация касательного пространства при помощи гомоморфизмов в кольцо дуальных чисел k [ t ] / ( t 2 ) . {displaystyle k[t]/(t^{2}).} На языке схем, морфизмы из Spec k[t]/t2 в схему X над k соответствует выбору рациональной точки x ∈ X(k) (точки с координатами из поля k) и элемента касательного пространства в точке x. Таким образом, эти морфизмы имеет смысл называть касательными векторами.