Произведение Бляшке

В комплексном анализе произведением Бляшке B ( z ) {displaystyle B(z)} называется аналитическая в единичном круге функция, обладающая нулями (конечным либо счетным их количеством) в заранее определённых точках { z n } 1 k {displaystyle {z_{n}}_{1}^{k}} , где k {displaystyle k} — конечное положительное число либо бесконечность (она называется последовательностью Бляшке). В случае, если последовательность нулей бесконечна, то на него накладывается дополнительное условие — сходимость ряда ∑ n ( 1 − | z n | ) . {displaystyle sum _{n}(1-|z_{n}|).}

Строится произведение Бляшке из так называемых множителей Бляшке B ( z ) = ∏ B ( z n , z ) {displaystyle B(z)=prod B(z_{n},z)} следующего вида:

B ( z n , z ) = | z n | z n z − z n 1 − z n ¯ z . {displaystyle B(z_{n},z)={frac {|z_{n}|}{z_{n}}}{frac {z-z_{n}}{1-{overline {z_{n}}}z}}.}

В случае, если z n = 0 {displaystyle z_{n}=0} , считается B ( 0 , z ) = z {displaystyle B(0,z)=z} .