Натуральное число

Натурáльные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее...). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n {displaystyle n} найдётся натуральное число, большее чем n {displaystyle n} . Отрицательные и нецелые числа к натуральным не относят.

Свойства натуральных чисел и операций с ними изучают арифметика и (более углублённо) теория чисел.

Место нуля

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов: первый, второй, третий, четвёртый, пятый…;
числа, возникающие при обозначении количества предметов: 0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов…

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего ноль.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N {displaystyle mathbb {N} } . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения:

N {displaystyle mathbb {N} } — натуральные числа, включая ноль: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 … } . {displaystyle {0,1,2,3,4dots }.}
N ∗ {displaystyle mathbb {N^{*}} } — натуральные числа без нуля: { 1 , 2 , 3 , 4 … } . {displaystyle {1,2,3,4dots }.}

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ N {displaystyle mathbb {N} } обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается N 0 , Z + , Z ⩾ 0 {displaystyle mathbb {N} _{0},mathbb {Z} _{+},mathbb {Z} _{geqslant 0}} и т. д.

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество N {displaystyle mathbb {N} } будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция S {displaystyle S} c областью определения N {displaystyle mathbb {N} } , называемая функцией следования ( S : N {displaystyle Scolon mathbb {N} } ), и выполнены следующие условия:

элемент единица принадлежит этому множеству ( 1 ∈ N {displaystyle 1in mathbb {N} } ), то есть является натуральным числом;

число, следующее за натуральным, также является натуральным (если x ∈ N {displaystyle xin mathbb {N} } , то S ( x ) ∈ N {displaystyle S(x)in mathbb {N} } или, в более короткой записи, S : N → N {displaystyle Scolon mathbb {N} o mathbb {N} } );

единица не следует ни за каким натуральным числом ( ∄ x ∈ N ( S ( x ) = 1 ) {displaystyle exists xin mathbb {N} (S(x)=1)} );

если натуральное число a {displaystyle a} непосредственно следует как за натуральным числом b {displaystyle b} , так и за натуральным числом c {displaystyle c} , то b {displaystyle b} и c {displaystyle c} — это одно и то же число (если S ( b ) = a {displaystyle S(b)=a} и S ( c ) = a {displaystyle S(c)=a} , то b = c {displaystyle b=c} );

(аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) P {displaystyle P} доказано для натурального числа n = 1 {displaystyle n=1} (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n {displaystyle n} , вытекает, что оно верно для следующего за n {displaystyle n} натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P ( n ) {displaystyle P(n)} — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число n {displaystyle n} . Тогда, если P ( 1 ) {displaystyle P(1)} и ∀ n ( P ( n ) ⇒ P ( S ( n ) ) ) {displaystyle forall n;(P(n)Rightarrow P(S(n)))} , то ∀ n P ( n ) {displaystyle forall n;P(n)} ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см., а также краткое доказательство), что если ( N , 1 , S ) {displaystyle (mathbb {N} ,1,S)} и ( N ~ , 1 ~ , S ~ ) {displaystyle ({ ilde {mathbb {N} }},{ ilde {1}},{ ilde {S}})} — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) f : N → N ~ {displaystyle fcolon mathbb {N} o { ilde {mathbb {N} }}} такая, что f ( 1 ) = 1 ~ {displaystyle f(1)={ ilde {1}}} и f ( S ( x ) ) = S ~ ( f ( x ) ) {displaystyle f(S(x))={ ilde {S}}(f(x))} для всех x ∈ N {displaystyle xin mathbb {N} } .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N {displaystyle mathbb {N} } какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом N {displaystyle mathbb {N} } образует моноид. Как уже упоминалось выше, в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

0 = ∅ ; {displaystyle 0=varnothing ;}
S ( n ) = n ∪ { n } . {displaystyle S(n)=ncup left{n ight}.}

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

0 = ∅ ; {displaystyle 0=varnothing ;}
1 = ∅ ∪ { 0 } = { ∅ } ; {displaystyle 1=varnothing cup left{0 ight}=left{varnothing ight};}
2 = 1 ∪ { 1 } = { ∅ , { ∅ } } ; {displaystyle 2=1cup left{1 ight}={ig {}varnothing ,;left{varnothing ight}{ig }};}
3 = 2 ∪ { 2 } = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } . {displaystyle 3=2cup left{2 ight}={Big {}varnothing ,;left{varnothing ight},;{ig {}varnothing ,;left{varnothing ight}{ig }}{Big }}.}

Величина множества натуральных чисел

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала ( 0 , 1 ) {displaystyle (0,1)} . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например, N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) 2 k ) {displaystyle mathbb {N} =igcup limits _{k=0}^{infty }left(igcup limits _{n=0}^{infty }(2n+1)2^{k} ight)} ).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
умножение: множитель × множитель = произведение;
возведение в степень: a b {displaystyle a^{b}} , где a {displaystyle a} — основание степени, b {displaystyle b} — показатель степени. Если a {displaystyle a} и b {displaystyle b} — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p {displaystyle p} и остаток r {displaystyle r} от деления a {displaystyle a} на b {displaystyle b} определяются так: a = p ⋅ b + r {displaystyle a=pcdot b+r} , причём r < b {displaystyle r<b} . Заметим, что при обобщении определения на множество неотрицательных целых чисел последнее условие запрещает деление на нуль, так как в этом множестве не существует r < 0 {displaystyle r<0} .

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

Коммутативность сложения:

a + b = b + a . {displaystyle a+b=b+a.}

Коммутативность умножения:

a ⋅ b = b ⋅ a . {displaystyle acdot b=bcdot a.}

Ассоциативность сложения:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) . {displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}

Ассоциативность умножения:

( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) . {displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c).}

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

{ a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ( b + c ) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a . {displaystyle {egin{cases}acdot (b+c)=acdot b+acdot c(b+c)cdot a=bcdot a+ccdot aend{cases}}.}

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z {displaystyle mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q + ∗ {displaystyle mathbb {Q} _{+}^{*}} соответственно.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

[ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] ; {displaystyle [A]+[B]=[Asqcup B];}
[ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] ; {displaystyle [A]cdot [B]=[A imes B];}
[ A ] [ B ] = [ A B ] , {displaystyle {[A]}^{[B]}=[A^{B}],}

где:

A ⊔ B {displaystyle Asqcup B} — дизъюнктное объединение множеств;
A × B {displaystyle A imes B} — прямое произведение;
A B {displaystyle A^{B}} — множество отображений из B в A.

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Интересные факты

При помощи разложения функции в ряд можно показать, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12.