Поверхность S называется поверхностью Ляпунова, если выполняются следующие условия:
В каждой точке поверхности S существует определённая нормаль (касательная плоскость); Существует такое положительное число d, что прямые, параллельные нормали в любой точке P поверхности S, пересекают не более одного раза окрестность Ляпунова — ту часть поверхности S, которая лежит внутри сферы радиуса d с центром P; Угол γ между нормалями в двух разных точках, находящихся внутри одной окрестности Ляпунова, удовлетворяет следующему условию: γ ≤ Arδ, где r — расстояние между этими точками, A — некоторая конечная постоянная и 0<δ≤1. Свойства поверхности Ляпунова:
Если ∂ G {displaystyle partial G} — поверхность Ляпунова, тогда справедливо ∂ G ∈ C 1 {displaystyle partial Gin C^{1}} , обратное, вообще говоря, не верно.
Если ∂ G ∈ C 2 {displaystyle partial Gin C^{2}} , тогда ∂ G {displaystyle partial G} является поверхностью Ляпунова с δ=1. Поверхности типа поверхностей Ляпунова позволяют строить гладкие дифференцируемые S-функции.
