Аксиоматическая квантовая теория поля
Аксиоматическая квантовая теория поля — подход в квантовой теории поля, основанный на использовании физических аксиом, сформулированных в строгой математической форме.
Его достоинством является то, что он позволяет дедуктивным методом, в качестве следствий соответствующих теорем (например, теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы), вывести наблюдаемые экспериментально физические следствия, вытекающие из физических представлений о пространстве-времени, сформулированных в виде математических аксиом и, таким образом, проверить сами эти исходные представления. Также он позволяет логически проверять и уточнять при необходимости исходные положения квантовой теории поля.
Его недостатком является то, что кроме теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы, из него не удаётся получить других конкретных, проверяемых на опыте, следствий (например, не удаётся построить теорию взаимодействующих полей а также нетривиальную теорию S-матрицы).
В аксиоматической квантовой теории поля, как правило, используется квантовомеханическое представление Гейзенберга, в котором зависимость от времени описывается операторами, а векторы состояний не зависят от времени.
Аксиомы квантовой теории поля
Связь между математическими объектами и физическими наблюдаемыми
Состояния физической системы описываются нормированными лучами в оснащённом гильбертовом пространстве с положительно определённой метрикой. Каждой измеряемой физической величине a {displaystyle a} ставится в соответствие самосопряжённый оператор A {displaystyle A} . Если величине a {displaystyle a} соответствует оператор A {displaystyle A} , то величине f ( a ) {displaystyle f(a)} соответствует оператор f ( A ) {displaystyle f(A)} .
Релятивистская инвариантность
Средние значения физических наблюдаемых a ¯ = ( Ψ , A Ψ ) {displaystyle {ar {a}}=(Psi ,APsi )} не изменяются относительно собственных преобразований Пуанкаре. Векторы состояний преобразуются по представлениям универсальной накрывающей группы Пуанкаре (теорема Баргмана-Вигнера).
Постулат локальности
Постулат локальности является выражением релятивистского принципа причинности. Измерения составляющих поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, независимы. Математически это означает, что операторы поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, либо коммутируют, либо антикоммутируют между собой.
[ φ j ( x ) , φ k ( y ) ] ± = [ φ j ( x ) , φ k ∗ ( y ) ] ± = 0 {displaystyle left[varphi _{j}(x),varphi _{k}(y) ight]_{pm }=left[varphi _{j}(x),varphi _{k}^{*}(y) ight]_{pm }=0} при ( x − y ) 2 < 0 {displaystyle (x-y)^{2}<0}Здесь знак коммутации «-» соответствует тензорному бозонному полю, знак антикоммутации «+» соответствует спинорному фермионному полю (теорема о связи спина со статистикой).
Принцип спектральности
Представление универсальной накрывающей группы Пуанкаре, которое реализуется в гильбертовом пространстве векторов состояния, разлагается на неприводимые представления лишь трёх классов:
- P 2 = m 2 > 0 , P 0 > 0 {displaystyle P^{2}=m^{2}>0,P_{0}>0} — элементарные частицы с положительной массой.
- P 2 = 0 , P ≠ 0 , P 0 > 0 {displaystyle P^{2}=0,P eq 0,P_{0}>0} — элементарные частицы с нулевой массой.
- P = 0 {displaystyle P=0} — все унитарные представления этого класса, кроме тождественного, бесконечномерны. Тождественное представление соответствует вакууму.
Здесь P 2 {displaystyle P^{2}} — квадрат оператора четырёхмерного импульса, m {displaystyle m} — масса элементарной частицы, P 0 {displaystyle P_{0}} — первая компонента оператора четырёхмерного импульса.
Нерешённые проблемы аксиоматической квантовой теории поля
- Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля. Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеяния.
- Неизвестно описание класса обобщённых функций F 4 {displaystyle F_{4}} , удовлетворяющих условию для двухточечной функции Уайтмана: ∫ ∫ ∫ f ( x 2 , x 1 ) f ( x 3 , x 4 ) F 4 ( x 1 − x 2 , x 2 − x 3 , x 3 − x 4 ) ∏ i = 1 4 d 4 x i ⩾ 0 {displaystyle int int int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{2}-x_{3},x_{3}-x_{4})prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}geqslant 0} .
Подходы к построению аксиоматической квантовой теории поля
Существует два основных подхода, обеспечивающих точную математическую формулировку и аксиоматизируемость квантовой теории поля: алгебраический и топологический.
Алгебраическая квантовая теория поля (AQFT)
Функториальная квантовая теория поля (FQFT)
FQFT формализует картину Шредингера квантовой механики (обобщенной на квантовую теорию поля), где пространства квантовых состояний присваиваются пространству, и где линейные отображения присваиваются траекториям или пространственно-временной интерполяции между этими пространствами.