Квантование Дирака

12.04.2022

Квантование Дирака — эвристический аргумент, предложенный П. Дираком и показывающий, что однозначность предсказаний квантовой механики с электрическими зарядами может быть сохранена в теории, включающей магнитные монополи, лишь при условии совместного квантования магнитного и электрического зарядов.

Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополя

Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано 4-векторным потенциалом Аμ, если допустить существование скачка Aμ на некоторой (произвольной) поверхности S, проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части. При этом напряжённость магнитного поля непрерывна на поверхности S всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований. Циркуляция скачка A по любому контуру, лежащему на S и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку, исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса) его магнитному заряду g. Контурный интеграл от 4-вектора A даёт вклад в фазу φ волновой функции пробной частицы с электрическим зарядом e, и скачок φ, соответствующий скачку Аμ на поверхности S, равен Δ φ = e g / ℏ c . {displaystyle Delta varphi =eg/hbar c.} При выполнении условия Дирака Δ φ = 2 π n , {displaystyle Delta varphi =2pi n,} так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок Аμ не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона, поэтому поверхность S ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна» или «нить» Дирака).

Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене l ( l + 1 ) {displaystyle l(l+1)} на l ( l + 1 ) − 1 / 4 n 2 {displaystyle l(l+1)-1/4n^{2}} (n — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера, при этом орбитальный угловой момент l {displaystyle l} может принимать значения

l n = 1 2 | n | ; 1 2 | n | + 1 ; 1 2 | n | + 2 ; . . . {displaystyle l_{n}={frac {1}{2}}|n|;{frac {1}{2}}|n|+1;{frac {1}{2}}|n|+2;...} l 1 = 1 / 2 ; 3 / 2 ; 5 / 2 ; . . . {displaystyle l_{1}=1/2;3/2;5/2;...} при n = 1 , {displaystyle n=1,} l 2 = 1 ; 2 ; 3 ; . . . {displaystyle l_{2}=1;2;3;...} при n = 2 , {displaystyle n=2,} l 3 = 3 / 2 ; 5 / 2 ; 7 / 2 ; . . . {displaystyle l_{3}=3/2;5/2;7/2;...} при n = 3 , {displaystyle n=3,} l 4 = 2 ; 3 ; 4 ; . . . {displaystyle l_{4}=2;3;4;...} при n = 4. {displaystyle n=4.}

Заметим, что при нечётном n система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом. Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными электрическими и магнитными зарядами образуется дион (частица, несущая одновременно электрический и магнитный заряды), подчиняющийся статистике Ферми — Дирака, т.е. фермион. Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.