Теорема Кёнига (механика)

18.04.2022

Теорема Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.

Формулировка

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

T = T 0 + T r , {displaystyle {T;=;T_{0}+T_{r}};,}

где T {displaystyle T} — полная кинетическая энергия системы, T 0 {displaystyle T_{0}} — кинетическая энергия движения центра масс, T r {displaystyle T_{r}} — относительная кинетическая энергия системы.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.

Более точная формулировка:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Вывод

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему S {displaystyle S} , распределены непрерывно.

Найдём относительную кинетическую энергию T r {displaystyle T_{r}} системы S {displaystyle S} , трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть ρ → {displaystyle {vec { ho }}} — радиус-вектор рассматриваемой точки системы S {displaystyle S} в подвижной системе координат. Тогда:

T r = 1 2 ∫ d ρ → d t ⋅ d ρ → d t d m , {displaystyle T_{r};=;{frac {1}{2}}int {frac {{ m {d}}{vec { ho }}}{{ m {d}}t}}cdot {frac {{ m {d}}{vec { ho }}}{{ m {d}}t}},{ m {d}}m;,}

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если r → 0 {displaystyle {vec {r}}_{0}} — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а r → {displaystyle {vec {r}}} — радиус-вектор рассматриваемой точки системы S {displaystyle S} в исходной системе координат, то верно соотношение:

r → = r → 0 + ρ → . {displaystyle {vec {r}};=;{vec {r}}_{0}+{vec { ho }};.}

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

T = 1 2 ∫ d r → d t ⋅ d r → d t d m = 1 2 ∫ ( d r → o d t + d ρ → d t ) ⋅ ( d r → o d t + d ρ → d t ) d m . {displaystyle T;=;{frac {1}{2}}int {frac {{ m {d}}{vec {r}}}{{ m {d}}t}}cdot {frac {{ m {d}}{vec {r}}}{{ m {d}}t}},{ m {d}}m;=;{frac {1}{2}}int left({frac {{ m {d}}{vec {r}}_{o}}{{ m {d}}t}}+{frac {{ m {d}}{vec { ho }}}{{ m {d}}t}} ight)cdot left({frac {{ m {d}}{vec {r}}_{o}}{{ m {d}}t}}+{frac {{ m {d}}{vec { ho }}}{{ m {d}}t}} ight),{ m {d}}m;.}

Учитывая, что радиус-вектор r → 0 {displaystyle {vec {r}}_{0}} одинаков для всех d m {displaystyle { m {d}}m} , можно, раскрыв скобки, вынести d r → 0 d t {displaystyle {frac {{ m {d}}{vec {r}}_{0}}{{ m {d}}t}}} за знак интеграла:

T = 1 2 d r → 0 d t ⋅ d r → 0 d t ∫ d m + d r → 0 d t ⋅ ∫ d ρ → d t d m + 1 2 ∫ d ρ → d t ⋅ d ρ → d t d m . {displaystyle T;=;{frac {1}{2}}{frac {{ m {d}}{vec {r}}_{0}}{{ m {d}}t}}cdot {frac {{ m {d}}{vec {r}}_{0}}{{ m {d}}t}}int ,{ m {d}}m,,+,,{frac {{ m {d}}{vec {r}}_{0}}{{ m {d}}t}}cdot int {frac {{ m {d}}{vec { ho }}}{{ m {d}}t}},{ m {d}}m,,+,,{frac {1}{2}}int {frac {{ m {d}}{vec { ho }}}{{ m {d}}t}}cdot {frac {{ m {d}}{vec { ho }}}{{ m {d}}t}},{ m {d}}m;.}

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём равен импульсу системы относительно центра масс, который равен нулю.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно T r {displaystyle T_{r}} , то есть относительной кинетической энергии системы S {displaystyle S} .