Мера Хаара


Пусть G {displaystyle G} — локально компактная хаусдорфова топологическая группа.

Левой мерой Хаара в G {displaystyle G} называется мера μ l {displaystyle mu _{l}} , определенная на σ-кольце, порожденном всеми компактными множествами, не равная тождественно нулю, конечная на компактных множествах и такая, что

μ l ( g E ) = μ l ( E ) {displaystyle mu _{l}(gE)=mu _{l}(E)}

для любых g ∈ G {displaystyle gin G} и E {displaystyle E} из области определения μ l {displaystyle mu _{l}} .

Правая мера Хаара μ r {displaystyle mu _{r}} определяется аналогично заменой условия μ l ( g E ) = μ l ( E ) {displaystyle mu _{l}(gE)=mu _{l}(E)} на условие μ r ( E g ) = μ r ( E ) {displaystyle mu _{r}(Eg)=mu _{r}(E)} .

Свойства

  • В любой локально компактной топологической группе типа существует и единственна с точностью до мультипликативной положительной постоянной левая (и правая) мера Хаара.
  • Для компактных групп, любая левая мера Хаара также является правой.
  • Для некомпактных групп, существует гомоморфизм f : G → R + {displaystyle fcolon G o mathbb {R} _{+}} , такой что мера f ⋅ μ l {displaystyle fcdot mu _{l}} является правой мерой Хаара.

Примеры

  • Мера Лебега в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} является частным случаем меры Хаара.