Симметричная моноидальная категория

В теории категорий, симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой операция тензорного произведения «настолько коммутативна, насколько это возможно». В симметричной моноидальной категории для любых объектов выбран изоморфизм γ A , B : A ⊗ B → B ⊗ A {displaystyle gamma _{A,B}:Aotimes B ightarrow Botimes A} , причём все эти изоморфизмы вместе образуют естественное семейство.

Формальное определение

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой для любых двух объектов выбран изоморфизм γ A , B : A ⊗ B → B ⊗ A {displaystyle gamma _{A,B}:Aotimes B ightarrow Botimes A} , причём γ B , A ∘ γ A , B = I d {displaystyle gamma _{B,A}circ gamma _{A,B}=Id} , а также коммутирует следующая шестиугольная диаграмма:

Примеры

• Любая декартово замкнутая категория является симметричной замкнутой моноидальной. Это даёт такие примеры, как Set и Cat (категория множеств и категория малых категорий).
• Векторные пространства над фиксированным полем k с тензорным произведением образуют моноидальную категорию. Отображение V ⊗ W → W ⊗ V {displaystyle Votimes W o Wotimes V} , определенное на разложимых элементах вида v ⊗ w {displaystyle votimes w} и продолженное по линейности, очевидным образом задаёт на ней структуру симметричной моноидальной категории.

Моноидальные категории с заузливанием

Моноидальная категория с заузливанием — это обобщение симметричной моноидальной категории; для неё уже не требуется, что γ B , A ∘ γ A , B = Id {displaystyle gamma _{B,A}circ gamma _{A,B}={ ext{Id}}} . Однако вместо коммутативности одной шестиугольной диаграммы приходится требовать коммутативность двух:

В симметричном случае обе эти диаграммы также коммутируют, но коммутативность одной из них следует из коммутативности другой и свойства γ B , A ∘ γ A , B = Id {displaystyle gamma _{B,A}circ gamma _{A,B}={ ext{Id}}} .

Название «моноидальная категория с заузливанием» (англ. braided monoidal category) произошло от группы кос (англ. braid group). Действительно, эти понятия глубоко связаны между собой. Для моноидальной категории с заузливанием, так же как и для обычной моноидальной категории, верна теорема о когерентности, утверждающая, что любая диаграмма, на стрелках которой написаны композиции γ , α , λ , ρ , e , ⊗ , Id {displaystyle gamma ,alpha ,lambda , ho ,e,otimes ,{ ext{Id}}} и обратных к ним, коммутативна. Более точно, она утверждает, что в моноидальной категории с заузливанием B любые два естественно изоморфных функтора из Bn в B, построенные из применений ⊗ {displaystyle otimes } к аргументам и скобок, естественно изоморфны единственным, каноническим образом. Каждой стрелке, на которой написано преобразование, составленное из указанных выше символов, можно сопоставить элемент группы кос (например, преобразованию γ {displaystyle gamma } сопоставляется «перекрутка» двух нитей, легко видеть, что γ B , A ∘ γ A , B ≠ Id {displaystyle gamma _{B,A}circ gamma _{A,B} eq { ext{Id}}} ). Оказывается, что два таких функтора естественно изоморфны, если им соответствует один и тот же элемент группы кос.

Симметричные моноидальные функторы

Моноидальный функтор F между симметричными моноидальными категориями C и D называется симметричным, если соответствующее ему естественное преобразование ϕ {displaystyle phi } коммутирует с λ {displaystyle lambda } , то есть для любых A, B категории C коммутирует следующая диаграмма:

Симметричные моноидальные естественные преобразования

Моноидальное естественное преобразование между моноидальными функторами ( F , Φ , ϕ ) {displaystyle (F,Phi ,phi )} и ( G , Γ , γ ) {displaystyle (G,Gamma ,gamma )} между моноиадбными категориями: C → D {displaystyle C o D} — это естественное преобразование α : C → D {displaystyle alpha :C o D} , такое что коммутируют следующие две диаграммы:

Для симметричных моноидальных естественных преобразований не требуется дополнительных условий, кроме того, что они действуют между симметричными моноидальными функторами.

Моноидальная эквивалентность

C и D — симметрично моноидально эквивалентные категории, если существуют симметричные моноидальные функторы F : C → D {displaystyle F:C o D} , G : D → C {displaystyle G:D o C} и симметричные моноидальные естественные изоморфизмы F G ⇐ 1 C {displaystyle FGLeftarrow 1_{C}} и G F ⇐ 1 D {displaystyle GFLeftarrow 1_{D}} .

Маклейн доказал теорему о том, что любая симметричная моноидальная категория моноидально (симметрично) эквивалентна строгой моноидальной (и симметричной) категории.

Также как определяется 2-категория малых категорий, можно определить 2-категории малых моноидальных категорий и малых симметричных моноидальных категорий, с соответствующими функторами и естественными преобразованиями.