Сходимость по распределению

03.10.2022

Сходимость по распределению в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} и определённые на нём случайные величины X , X n : Ω → R m , n = 1 , 2 , … {displaystyle X,X_{n}:Omega o mathbb {R} ^{m},,n=1,2,ldots } . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на R m {displaystyle mathbb {R} ^{m}} , называемую её распределением.

Случайные величины X n {displaystyle X_{n}} сходятся по распределению к случайной величине X {displaystyle X} , если распределения P X n {displaystyle mathbb {P} ^{X_{n}}} слабо сходятся к распределению P X {displaystyle mathbb {P} ^{X}} , то есть

lim n → ∞ ∫ R m f ( x ) P X n ( d x ) = ∫ R m f ( x ) P X ( d x ) {displaystyle lim limits _{n o infty }int limits _{mathbb {R} ^{m}}f(x),mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=int limits _{mathbb {R} ^{m}}f(x),mathbb {P} ^{X}(dx)}

для любой непрерывной ограниченной функции f : R m → R {displaystyle f:mathbb {R} ^{m} o mathbb {R} } .

Замечания

  • Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
lim n → ∞ E f ( X n ) = E f ( X ) {displaystyle lim limits _{n o infty }mathbb {E} f(X_{n})=mathbb {E} f(X)} .
  • Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

  • Случайные величины X n {displaystyle X_{n}} сходятся по распределению к X {displaystyle X} , если их функции распределения F X n {displaystyle F_{X_{n}}} сходятся к функции распределения предела F X {displaystyle F_{X}} во всех точках непрерывности последней:
F X ∈ C ( x ) ⇒ lim n → ∞ F X n ( x ) = F X ( x ) {displaystyle F_{X}in C(x)Rightarrow lim limits _{n o infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)} .
  • Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:
lim n → ∞ f X n ( x ) → f X ( x ) {displaystyle lim limits _{n o infty }f_{X_{n}}(x) o f_{X}(x)} почти всюду, то X n → D X {displaystyle X_{n} o ^{!!!!!!!{mathcal {D}}}X} . Обратное, вообще говоря, неверно!
  • Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в L p {displaystyle L^{p}} ) влечёт сходимость по распределению:
X n → P X ⇒ X n → D X {displaystyle X_{n} o ^{!!!!!!!mathbb {P} }XRightarrow X_{n} o ^{!!!!!!!{mathcal {D}}}X} . Обратное, вообще говоря, неверно.