Гиперболичность в смысле Громова

26.01.2021

Гиперболичность в смысле Громова или δ {displaystyle delta } -гиперболичность — глобальная характеристика метрического геодезического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Для положительного числа δ {displaystyle delta } пространство является δ {displaystyle delta } -гиперболическим, если все геодезические треугольники δ {displaystyle delta } -тонкие это означает — одна сторона любого треугольника не может отойти от объединения двух остальных сторон на расстояние больше, чем δ {displaystyle delta } .

Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для групп малого сокращения.

Определение

Есть много эквивалентных определений этого свойства (иногда отличающихся изменением δ {displaystyle delta } в константу раз); наиболее простое — для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в δ {displaystyle delta } -окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на отрезке [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в δ {displaystyle delta } -окрестности [xz], а [ty] лежит в δ {displaystyle delta } -окрестности [zy].

Эквивалентно, гиперболичность в смысле Громова можно определить, потребовав, чтобы для любых точек x , y , z ∈ X {displaystyle x,y,zin X} выполнялось

( x , z ) p ≥ min { ( x , y ) p , ( y , z ) p } − δ , {displaystyle (x,z)_{p}geq min {ig {}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{ig }}-delta ,}

где ( x , y ) p {displaystyle (x,y)_{p}} обозначает произведение Громова:

( y , z ) x = 1 2 ( d ( x , y ) + d ( x , z ) − d ( y , z ) ) . {displaystyle (y,z)_{x}={frac {1}{2}}{ig (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){ig )}.}

Свойства

  • Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
  • Если пространство содержит изометричную копию R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} , оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда[прояснить] не может быть гиперболическим.

Примеры

  • Любое компактное пространство гиперболично.
  • Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
  • Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова.