Произведение Громова


Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться.

Названо в честь Громова.

Произведение Громова используется, в частности для определения метрики на абсолютной границе метрического пространства.

Определение

Пусть зафиксирована базисная точка x ∈ X {displaystyle xin X} метрического пространства ( X , d ) {displaystyle (X,d)} . Тогда, произведением Громова (относительно точки x {displaystyle x} ) точек y {displaystyle y} и z {displaystyle z} этого пространства называется величина

( y , z ) x := 1 2 ( d ( x , y ) + d ( x , z ) − d ( y , z ) ) . {displaystyle (y,z)_{x}:={frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).}

Свойства

  • Произведение Громова неотрицательно и симметрично: ∀ x , y , z ∈ X ( y , z ) x = ( z , y ) x , ( y , z ) x ≥ 0. {displaystyle forall x,y,zin Xquad (y,z)_{x}=(z,y)_{x},quad (y,z)_{x}geq 0.}
  • Для случая дерева, ( y , z ) x {displaystyle (y,z)_{x}} есть длина совпадающей части геодезических путей [ x y ] {displaystyle [xy]} и [ x z ] {displaystyle [xz]} .
  • Для δ {displaystyle delta } -гиперболических пространств выполняется неравенство. ( x , z ) p ≥ min { ( x , y ) p , ( y , z ) p } − δ . {displaystyle (x,z)_{p}geq min {ig {}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{ig }}-delta .}