Гомологическое многообразие

27.01.2021

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Большинство утверждений о гомологиях многообразий, как например двойственность Пуанкаре, допускают естественные обобщения на случай гомологических многообразий.

Определение

Гомологическое G-многообразие (без границы) размерности n над абелевой группой G есть локально компактное топологическое пространство X с конечной G-когомологической размерностью такое, что для любой точки x ∈ X {displaystyle xin X} группы гомологий

H p ( X , X − x , G ) = 0 {displaystyle H_{p}(X,X-x,G)=0}

при p ≠ n {displaystyle p eq n} и

H n ( X , X − x , G ) = G . {displaystyle H_{n}(X,X-x,G)=G.}

Здесь H есть некоторая теория гомологий, обычно сингулярные гомологии.

Если группа G не уточняется, то считается G=Z.

Более общо, можно дать определение гомологического многообразия с границей, позволив локальной группе гомологий пропадать в каких-то точках, которые, конечно, образуют границу гомологического многообразия. Границa n-мерного гомологического многообразия является (n-1)-мерным гомологическим многообразием (без границы).

Примеры

  • Любое топологическое многообразие является гомологическим многообразием.
  • Сферическая надстройка над сферой Пуанкаре является 4-мерным гомологическим многообразием, но не многообразием.
    • Сферическая надстройка над любой гомологической сферой является гомологическим многообразием, но не всегда многообразием.

Свойства

  • Двумерное гомологическое многообразие является топологическим многообразием.
  • Если произведение пространств X × Y {displaystyle X imes Y} является топологическим многообразием, то каждое пространство X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} является гомологическим многообразием.