Необходимое условие сходимости рядов


Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда):

Доказательство

Пусть исходный ряд сходится (последовательность частичных сумм имеет конечный предел). По условию последовательности частичных сумм ( s k ) {displaystyle (s_{k})} и ( s k + 1 ) {displaystyle (s_{k+1})} имеют общий конечный предел s {displaystyle s} , но | a k + 1 | = | s k + 1 − s k | {displaystyle |a_{k+1}|=|,s_{k+1}-,s_{k}|} , а потому | a k + 1 | → 0 {displaystyle |a_{k+1}| ightarrow 0} , что равносильно бесконечной малости ( a k ) {displaystyle (a_{k})} .

Замечание

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что ( a k ) → 0 {displaystyle (a_{k}) ightarrow 0} не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . {displaystyle 1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+...+{frac {1}{n}}+...} расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.