Математические теории вязкоупругих свойств пластиков

Для определения эластических свойств в изотропном твердом теле необходимо выделить два независимых параметра жесткости. В данном изложении такими величинами, входящими в уравнение, являются модуль сдвига G, характеризующий деформацию твердого тела при постоянном объеме, и модуль объемного сжатия К, характеризующий чисто объемную деформацию тела. Проблема заключается в расчете модулей G0 и К0 твердого композиционного материала, исходя из модулей G1, G2, К1 и K2 и объемных долей компонентов Ф1 и Ф2. В случае, показанном на рис. 5.8, г, необходим двойной расчет: вычисление модуля композиционных каучуковых частиц и затем модуля ударопрочного полимера как единого целого, используя предварительно вычисленные модули композиционных частиц каучука. При необходимости модуль Юнга E и коэффициент Пуассона v могут быть затем вычислены по формулам теории упругости:

Вычисление величины К0 не представляет особой трудности. Различие в модулях объемного сжатия термопластов и каучуков невелико: типичные значения для полистирола и полибутадиена 3 ГПа и 2 ГПа соответственно. Хотя точного уравнения для Ко в общем случае нет, некоторая ошибка, полученная при использовании приближенных выражений, по-видимому, не так уж значительна.
Расчет G0 весьма сложен. Модуль упругости при сдвиге для пластмасс в тысячу раз больше, чем для каучуков; типичные значения для полистирола и полибутадиена 1,1 ГПа и 0,7 МПа соответственно. Кроме того, не существует точного выражения, которое можно было бы использовать для расчета G0 даже в самом ограниченном случае. Основная сложность заключается в том, что интересующие нас композиции являются высоконаполненными и поэтому каждая частица взаимодействует с несколькими соседними. Строгое математическое решение задачи такого типа, как доказано в теории упругости, невозможно.
В связи с этим математик вынужден отказаться от значительной части имеющейся в его распоряжении информации, касающейся специфики системы, поскольку ее невозможно обработать. В качестве иллюстрации этого положения можно отметить, что многие математические теории для композиционных материалов не учитывают особенности материала, образующего матрицу и дисперсную фазу.
Самое большее, что может быть сделано в строгой форме, — это расчет пределов модуля упругости при сдвиге для композиционного материала. Кроме того, можно использовать приближенные теории, но важно знать их область применимости. Оба пути решения задачи рассмотрены ниже.

Предельные значения модуля сдвига получены при рассмотрении композиционного материала как набора параллельных пластин. При параллельном нагружении, когда оба материала подвергаются одинаковой деформации, модуль сдвига имеет максимальное значение. При последовательном нагружении напряжение в обоих материалах одинаково и значение модуля минимально. Пределы модуля упругости при сдвиге описываются следующими выражениями.
Параллельное нагружение (верхний предел):

Последовательное нагружение (нижний предел):

Несмотря на то что эти уравнения дают строгие значения пределов модуля, они имеют небольшую ценность, поскольку дают далеко отстоящие друг от друга значения. Более узкие пределы были получены Хашиным и Штрикманом:

Эти пределы также достаточно далеко отстоят друг от друга и поэтому имеют ограниченную ценность для целей прогнозирования. Пределы Хашииа—Штрнкмана являются удобным методом проверки приближенных теорий, поскольку уравнение, дающее значение модуля сдвига для любой части композиции вне этих пределов, является недействительным. Еще более узкие, но нестрогие пределы были рассчитаны Хашиным при рассмотрении композиционного материала, как бы состоящего из сферических заполняющих пространство элементов. Каждый элемент представляет собой сферическое ядро одного материала, окруженного оболочкой из другого материала. Эта модель предусматривает введение бесконечно малых элементов для заполнения всего доступного пространства и поэтому относится к моделям с очень ограниченной областью применения.

Для описания модулей изотропных композиционных материалов, содержащих изотропные включения, было предложено большое число приближенных уравнений. На рис. 5.9 представлены данные, полученные при решении некоторых из этих уравнений для композиционных частиц каучука, содержащих до 99 % инклюзий полистирола, а также верхний и нижний пределы Хашина—Штрикмана. Из рисунка видно, что разные теории дают существенно различные значения модуля упругости при сдвиге для композиционного материала.

С математической точки зрения наиболее хорошо обоснованной из приближенных теорий является «самосогласованная» теория, развитая Хиллом. Модуль рассчитывается путем рассмотрения деформаций внутри включения, окруженного средой, обладающей константой упругости композиционного материала (пока еще неизвестной). Решение для G0 имеет вид:

Это уравнение может быть решено итерационным методом или графически путем подстановки значений G0 в интервале между G1 и G2 и расчетом значений Ф1.
Как показано на рис. 5.9, метод самосогласования предсказывает сигмоидальный вид зависимости lg G0 от Ф2, причем получаются значения модуля сдвига, близкие к нижнему пределу при малых объемных долях полистирольных инклюзий. Причина состоит в том, что метод не делает различия между матрицей и дисперсной фазой. Резкое возрастание модуля при приближении объемной доли полистирольных включений к 0,5 фактически соответствует инверсии фаз. Однако не предусмотрен случай, когда инверсия фаз не происходит. Такие же критические замечания относятся и к уравнениям Хэлпина—Тсаи и Дэвиса.
Одним из наиболее широко применяемых приближенных выражений является уравнение Кернера. Согласно данному подходу композиционный материал рассматривается как суспензия сферических включений, каждое из которых окружено оболочкой матричного полимера и связано с ней. На некотором удалении от включений композиционный материал рассматривается как гомогенная среда, как и в методе самосогласования. В промежуточной области не оговоренной протяженности свойства изменяются постепенно от усредненных свойств композиционного материала до свойств матрицы. Специфическое взаимодействие между частицами не рассматривается. Уравнение модуля упругости при сдвиге имеет вид:

С математической точки зрения теория Кернера не обладает достоинствами самосогласованного метода. Можно показать, что уравнение (5.7) дает значения, соответствующие нижнему пределу Хашина—Штрикмана в случае, когда модуль упругости при сдвиге и модуль объемного сжатия матрицы ниже, чем наполнителя, и дает значения, соответствующие верхнему пределу, когда матрица имеет более высокие значения модуля упругости при сдвиге и модуля объемного сжатия, чем значения соответствующих модулей инклюзий.
К другим композиционным материалам любые эти теории следует применять осторожно. Взаимодействие вязкоупругих инклюзий с вязкоупругой матрицей ставит довольно сложные проблемы, не имеющие в настоящее время удовлетворительного решения. Очень соблазнительно ввести в уравнения упругости комплексные модули, однако с теоретической точки зрения это мало обоснованно, а результат представляется сомнительным.
Теории, разработанные для расчета модулей композиционных материалов, пригодны также для расчета таких свойств, как диэлектрическая проницаемость, удельная теплоемкость, теплопроводность и коэффициент теплового расширения. Например, коэффициент объемного теплового расширения β описывается следующим уравнением: